Verifique se S é LI ou LD:
S=\{1+3 i, 2-i\} \subset \mathbb{C}, espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \,S=\{1+3i,\;2-i\}\subset\mathbb{C}
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) quando pensamos em \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para isso precisamos usar a definição de independência linear: S é LI se a única solução real do sistema
\alpha\,(1+3i)+\beta\,(2 - i)=0
é \alpha=\beta=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e separamos as partes real e imaginária. Seja
\alpha\,(1+3i)+\beta\,(2 - i)=0+0\,i.
Isso dá, igualando as partes reais e imaginárias, o sistema
\begin{cases} \alpha\cdot 1 + \beta\cdot 2 = 0,\\\ \alpha\cdot 3 + \beta\cdot(-1) = 0. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\\\ 3\alpha - \beta = 0, \end{cases}
da segunda equação vem \beta=3\alpha. Substituindo na primeira:
\alpha + 2\,(3\alpha)=\alpha+6\alpha=7\alpha=0 \;\Longrightarrow\;\alpha=0.
Logo \beta=3\cdot 0=0.

Passo 4

Como a única solução é \alpha=\beta=0, o conjunto S é linearmente independente.

Resposta

S é linearmente independente (LI).

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