Verifique se são convergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar alguns testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser convergente ou divergente. Uma série infinita é convergente se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito quando somamos infinitos termos. Caso contrário, dizemos que a série é divergente.
Passo 3
Agora, vamos analisar os termos da nossa série:
. Para séries positivas, como essa, um método útil é o Teste da Divergência, que verifica o limite do termo geral.
Passo 4
Aplicando o Teste da Divergência, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Vamos calcular esse limite.
Passo 5
Observando o limite, vemos que tanto o numerador (
) quanto o denominador (
) tendem ao infinito quando
cresce. Mas, qual cresce mais rápido?
Sabemos que funções lineares como
crescem muito mais rápido do que funções logarítmicas como
. Portanto:
Passo 6
Como o limite do termo geral é infinito, que não é igual a zero, o Teste da Divergência nos diz que a série
não converge.
Resposta
A série
é divergente.