Verifique se são coplanares os vetores u=(2,-1,1), v=0 e w=(2,-1,4).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=(2,-1,1), v=0=(0,0,0) e w=(2,-1,4),
e pede para verificar se eles são coplanares.
Conteúdo: teste de coplanaridade via produto misto (determinante).

Passo 2

Três vetores u,v,w em R^3 são coplanares se, e só se, o produto misto
[u,v,w] for zero.
Esse produto misto é o determinante da matriz que tem as coordenadas desses vetores como linhas (ou colunas).

Passo 3

Montamos o determinante correspondente ao produto misto:
[u,v,w] = det 2 & -1 & 1 0 & 0 & 0 2 & -1 & 4

Passo 4

Note que a segunda linha da matriz é (0,0,0).
Qualquer determinante com uma linha (ou coluna) nula vale zero.
Portanto,
det 2 & -1 & 1 0 & 0 & 0 2 & -1 & 4 =0

Passo 5

Como o produto misto é zero, concluímos que u,v,w são coplanares.

Resposta

Os vetores são coplanares, pois o produto misto é zero.

Exercícios relacionados