Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos. Em caso afirmativo, encontre sua função potencial.
F(x, y)=2 x y e^{x^{2} y} i+x^{2} e^{x^{2} y} j.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) verificar se o campo vetorial \;F(x,y)=2xy e^{x^{2}y}\,\mathbf{i}+x^{2}e^{x^{2}y}\,\mathbf{j}\; é conservativo; (2) caso seja conservativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=F.
Informações dadas e convenientes para a resolução:
P(x,y)=2xy e^{x^{2}y},\qquad Q(x,y)=x^{2} e^{x^{2}y}.
O campo está definido para todos os pontos de \mathbb{R}^2 (a função exponencial é bem definida em todo \mathbb{R}^2).

Passo 2

O que significa ser “conservativo”? Significa que existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y),\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q(x,y).
Uma forma prática de testar isso em um domínio simples (como \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo) é verificar se as derivadas cruzadas coincidem:
\frac{\partial P}{\partial y} \stackrel{?}{=} \frac{\partial Q}{\partial x}.
Se essa igualdade for verdadeira para todo (x,y) no domínio, então o campo é conservativo.

Passo 3

Calcule \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} passo a passo. Temos P(x,y)=2x y e^{x^{2}y}. Ao derivar em relação a y, x é tratado como constante, então usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
\frac{\partial P}{\partial y} =2x\cdot e^{x^{2}y} + 2x y \cdot e^{x^{2}y}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y).
Aqui \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}. Substituindo:
\frac{\partial P}{\partial y} =2x e^{x^{2}y} + 2x y \cdot x^{2} e^{x^{2}y} = e^{x^{2}y}\bigl(2x + 2x^{3}y\bigr).

Passo 4

Calcule \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} passo a passo. Temos Q(x,y)=x^{2} e^{x^{2}y}. Ao derivar em relação a x, usamos produto e cadeia:
\frac{\partial Q}{\partial x} =2x\cdot e^{x^{2}y} + x^{2}\cdot e^{x^{2}y}\cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y).
Aqui \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2x y. Substituindo:
\frac{\partial Q}{\partial x} =2x e^{x^{2}y} + x^{2}\cdot e^{x^{2}y}\cdot 2x y = e^{x^{2}y}\bigl(2x + 2x^{3}y\bigr).

Passo 5

Compare os resultados:
\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x^{2}y}\bigl(2x + 2x^{3}y\bigr) \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=e^{x^{2}y}\bigl(2x + 2x^{3}y\bigr).
Como as duas derivadas cruzadas são iguais para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que o campo F é conservativo. Ufa! Boa notícia — tem função potencial.

Passo 6

Agora vamos encontrar a função potencial \varphi(x,y). Começamos integrando \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y)=2x y e^{x^{2}y} em relação a x (tratando y como constante):
\varphi(x,y)=\int 2x y e^{x^{2}y}\,dx + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
Para fazer a integral use a substituição u=x^{2}y. Então \displaystyle du = 2x y\,dx. Assim
\int 2x y e^{x^{2}y}\,dx = \int e^{u}\,du = e^{u} + C = e^{x^{2}y} + C.
Portanto
\varphi(x,y)=e^{x^{2}y} + h(y).

Passo 7

Determine h(y) usando a condição \displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q(x,y). Calcule \phi_{y}:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^{2}y}\bigr) + h'(y) = x^{2} e^{x^{2}y} + h'(y).
Devemos ter \phi_{y}=Q(x,y)=x^{2} e^{x^{2}y}. Igualando:
x^{2} e^{x^{2}y} + h'(y) = x^{2} e^{x^{2}y} \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Assim h(y) é constante, h(y)=C.

Passo 8

Concluímos que uma função potencial para F é
\varphi(x,y)=e^{x^{2}y}+C,
onde C é constante arbitrária. Essa \varphi satisfaz \nabla\varphi=F.

Resposta

\varphi(x,y)=e^{x^{2}y}+C

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