Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos. Em caso afirmativo, encontre sua função potencial.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) verificar se o campo vetorial
é conservativo; (2) caso seja conservativo, encontrar uma função potencial
tal que
.
Informações dadas e convenientes para a resolução:
O campo está definido para todos os pontos de
(a função exponencial é bem definida em todo
).
Passo 2
O que significa ser “conservativo”? Significa que existe uma função escalar
tal que
Uma forma prática de testar isso em um domínio simples (como
, que é simplesmente conexo) é verificar se as derivadas cruzadas coincidem:
Se essa igualdade for verdadeira para todo
no domínio, então o campo é conservativo.
Passo 3
Calcule
passo a passo. Temos
. Ao derivar em relação a
,
é tratado como constante, então usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Aqui
. Substituindo:
Passo 4
Calcule
passo a passo. Temos
. Ao derivar em relação a
, usamos produto e cadeia:
Aqui
. Substituindo:
Passo 5
Compare os resultados:
Como as duas derivadas cruzadas são iguais para todo
e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que o campo
é conservativo. Ufa! Boa notícia — tem função potencial.
Passo 6
Agora vamos encontrar a função potencial
. Começamos integrando
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Para fazer a integral use a substituição
. Então
. Assim
Portanto
Passo 7
Determine
usando a condição
. Calcule
:
Devemos ter
. Igualando:
Assim
é constante,
.
Passo 8
Concluímos que uma função potencial para
é
onde
é constante arbitrária. Essa
satisfaz
.