Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos. Em caso afirmativo, encontre sua função potencial.
.
Passo 1
Enunciado: Verificar se o campo vetorial
é conservativo. Em caso afirmativo, encontrar sua função potencial.
Informações dadas:
com
Domínio implícito: todos os pontos de
(não há singularidades nos componentes).
O que se pede: determinar se existe uma função escalar
tal que
. Se houver, encontrar
.
Passo 2
Conceito e critério prático (explicado como se eu estivesse te ensinando na prova):
- Um campo vetorial
é conservativo em um domínio se existe tal que . Isso significa - Em domínios abertos e simplesmente conexos (como
), uma condição equivalente e prática é que o rotacional (curl) de seja o vetor zero: Aqui, essa igualdade é necessária e suficiente nessas hipóteses de domínio. Então, na prática, vamos calcular o rotacional e ver se ele é o vetor nulo.
Fórmula do rotacional (em componentes): para
,
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias. Lembra: trata cada componente como função das variáveis
.
-
-
(porque não depende de ). -
Atenção, vou fazer com calma: , então . Logo -
(não depende de ). -
-
Resumo (tudo escrito em TeX):
Passo 4
Montar o rotacional usando a fórmula e as derivadas calculadas:
Substituindo os valores:
Interpretação didática: o rotacional não é o vetor nulo de forma geral porque a componente
do rotacional é
, que não é identicamente zero para todos os
em
. Por exemplo, em
temos
.
Passo 5
Conclusão lógica e explicação final:
- Como o domínio natural do campo é
, que é aberto e simplesmente conexo, a condição é tanto necessária quanto suficiente para que seja conservativo. - Aqui encontramos
, que não é o vetor nulo em todo . - Portanto
não é conservativo em e não existe função potencial definida em todo tal que .
Observação extra (útil na prova): só haveria chance de
existir em uma região onde
em toda essa região. Mas a equação
não se satisfaz em nenhuma região aberta de
(é uma condição que define superfícies/curvas, não um aberto), então não há uma vizinhança aberta em que o rotacional seja identicamente zero. Logo não existe potencial nem localmente (em uma bola aberta) à volta de um ponto genérico.
Resposta
O campo
não é conservativo; portanto não existe função potencial
definida em todo
com
.