Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos. Em caso afirmativo, encontre sua função potencial.
F(x, y, z)=\operatorname{sen}(y) i-\cos (x) j+k.

Passo 1

Enunciado: Verificar se o campo vetorial \displaystyle F(x,y,z)=\sin(y)\,\mathbf{i}-\cos(x)\,\mathbf{j}+\mathbf{k} é conservativo. Em caso afirmativo, encontrar sua função potencial.
Informações dadas:
\displaystyle F(x,y,z)=\bigl(P(x,y,z),\,Q(x,y,z),\,R(x,y,z)\bigr) com
P(x,y,z)=\sin(y),\qquad Q(x,y,z)=-\cos(x),\qquad R(x,y,z)=1.
Domínio implícito: todos os pontos de \displaystyle \mathbb{R}^3 (não há singularidades nos componentes).
O que se pede: determinar se existe uma função escalar \displaystyle \varphi(x,y,z) tal que \displaystyle \nabla\varphi=F. Se houver, encontrar \displaystyle \varphi.

Passo 2

Conceito e critério prático (explicado como se eu estivesse te ensinando na prova):
  • Um campo vetorial \displaystyle F é conservativo em um domínio D se existe \displaystyle \varphi tal que \displaystyle \nabla\varphi=F. Isso significa \frac{\partial \varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=R.
  • Em domínios abertos e simplesmente conexos (como \displaystyle \mathbb{R}^3), uma condição equivalente e prática é que o rotacional (curl) de F seja o vetor zero: \nabla\times F=\mathbf{0}.Aqui, essa igualdade é necessária e suficiente nessas hipóteses de domínio. Então, na prática, vamos calcular o rotacional e ver se ele é o vetor nulo.
Fórmula do rotacional (em componentes): para F=(P,Q,R),
\nabla\times F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias. Lembra: trata cada componente como função das variáveis x,y,z.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\sin(y)=\cos(y).
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\sin(y)=0 (porque \sin(y) não depende de z).
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-\cos(x)\bigr)=-(-\sin(x))? Atenção, vou fazer com calma: \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x), então \frac{d}{dx}(-\cos x)=+\sin(x). Logo \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\sin(x).
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-\cos(x)\bigr)=0 (não depende de z).
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}1=0.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}1=0.
Resumo (tudo escrito em TeX):
P_y=\cos(y),\quad P_z=0,\quad Q_x=\sin(x),\quad Q_z=0,\quad R_x=0,\quad R_y=0.

Passo 4

Montar o rotacional usando a fórmula e as derivadas calculadas:
\nabla\times F=\left(R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y\right).
Substituindo os valores:
\nabla\times F=\bigl(0-0,\;0-0,\;\sin(x)-\cos(y)\bigr)=\bigl(0,\;0,\;\sin(x)-\cos(y)\bigr).
Interpretação didática: o rotacional não é o vetor nulo de forma geral porque a componente z do rotacional é \displaystyle \sin(x)-\cos(y), que não é identicamente zero para todos os (x,y,z) em \mathbb{R}^3. Por exemplo, em (x,y)=(0,0) temos \sin(0)-\cos(0)=0-1=-1\neq 0.

Passo 5

Conclusão lógica e explicação final:
  • Como o domínio natural do campo é \displaystyle \mathbb{R}^3, que é aberto e simplesmente conexo, a condição \nabla\times F=\mathbf{0} é tanto necessária quanto suficiente para que F seja conservativo.
  • Aqui encontramos \nabla\times F=(0,0,\sin(x)-\cos(y)), que não é o vetor nulo em todo \mathbb{R}^3.
  • Portanto F não é conservativo em \mathbb{R}^3 e não existe função potencial \varphi definida em todo \mathbb{R}^3 tal que \nabla\varphi=F.
Observação extra (útil na prova): só haveria chance de \varphi existir em uma região onde \sin(x)-\cos(y)\equiv 0 em toda essa região. Mas a equação \sin(x)=\cos(y) não se satisfaz em nenhuma região aberta de \mathbb{R}^2 (é uma condição que define superfícies/curvas, não um aberto), então não há uma vizinhança aberta em que o rotacional seja identicamente zero. Logo não existe potencial nem localmente (em uma bola aberta) à volta de um ponto genérico.

Resposta

O campo F não é conservativo; portanto não existe função potencial \varphi definida em todo \mathbb{R}^3 com \nabla\varphi=F.

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