Verifique que as seguintes equações não são exatas. Transforme-as em exatas através de um fator integrante e encontre as soluções: (x+y) d x+x ln (x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação diferencial
(x+y),dx + xln(x),dy = 0
não é exata e depois torná-la exata por um fator integrante, finalmente encontrando a solução implícita.

Passo 2

Primeiro identificamos as funções M(x,y) = x + y e N(x,y) = xln(x). Calculamos as derivadas parciais:
My = partialpartial y(x+y) = 1,
Nx = partialpartial xl(xln(x)r) = ln(x) + 1
Como My neq Nx, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa apenas de x. Usamos a fórmula
$$\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{M_y - N_x}{N},dx\Bigr).
mu(x) = expl(integral My - NxN,dxr) \frac{M_y - N_x}{N} = \frac{1 - (\ln(x)+1)}{x\ln(x)} = -\frac{\ln(x)}{x\ln(x)} = -\frac1x,
My - NxN = 1 - (ln(x)+1)xln(x) = -ln(x)xln(x) = -1x, \mu(x) = \exp\Bigl(\int -\tfrac1x,dx\Bigr) = x^{-1}.
$$

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=1/x:
x+yx,dx + xln(x)x,dy = l(1 + yxr)dx + ln(x),dy = 0
Agora temos
widetilde M(x,y)=1+tfrac yx, widetilde N(x,y)=ln(x),
e de fato
partial widetilde Mpartial y = 1x = partial widetilde Npartial x,
logo a equação ficou exata.

Passo 5

Para achar a função potencial Phi(x,y), integramos widetilde M em relação a x:
Phi(x,y) = integrall(1 + yxr)dx = x + yln(x) + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Derivando Phi em relação a y:
Phiy = ln(x) + h'(y)
que deve ser igual a widetilde N=ln(x). Logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 6

A solução geral implícita da equação é dada por
Phi(x,y) = x + yln(x) = C,
onde C é constante de integração.

Resposta

x + y \ln(x) = C

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