Verifique que as seguintes equações não são exatas. Transforme-as em exatas através de um fator integrante e encontre as soluções:
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a equação diferencial
não é exata e depois torná-la exata por um fator integrante, finalmente encontrando a solução implícita.
Passo 2
Primeiro identificamos as funções
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa apenas de
. Usamos a fórmula
$$\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{M_y - N_x}{N},dx\Bigr).
$$
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora temos
e de fato
logo a equação ficou exata.
Passo 5
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Derivando
em relação a
:
que deve ser igual a
. Logo
e
é constante.
Passo 6
A solução geral implícita da equação é dada por
onde
é constante de integração.
Resposta
x + y \ln(x) = C