Resolva as equações por meio de uma substituição apropriada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
. O objetivo é resolver essa equação usando uma substituição adequada. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como usar substituições para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado:
Agora, percebemos que a expressão
aparece de forma quadrada. Isso sugere que uma boa estratégia é fazer uma substituição para simplificar a equação.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável para substituir
. Vamos chamar essa nova variável de
:
Com essa substituição, precisamos encontrar
para substituir na equação original.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
:
Agora, como temos
na nossa equação original, podemos substituir na expressão acima.
Passo 5
Da equação original, sabemos que:
Substituindo isso na express��o para
:
Agora, temos uma equação diferencial mais simples em termos de
.
Passo 6
Vamos resolver a equação
. Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
dos lados opostos da equação:
Agora, vamos integrar ambos os lados.
Passo 7
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Igualando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, vamos resolver para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 9
Finalmente, isolamos
para obter a solução da equação original:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: