Resolva as equações por meio de uma substituição apropriada: d yd x-(x+y+1)^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial: . O objetivo é resolver essa equação usando uma substituição adequada. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como usar substituições para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar dydx = (x + y + 1)^2 isolado:
Agora, percebemos que a expressão aparece de forma quadrada. Isso sugere que uma boa estratégia é fazer uma substituição para simplificar a equação.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para substituir z = x + y + 1 . Vamos chamar essa nova variável de :
Com essa substituição, precisamos encontrar para substituir na equação original.

Passo 4

Calculando a derivada de dzdx = ddx(x + y + 1) = 1 + dydx em relação a :
Agora, como temos na nossa equação original, podemos substituir na expressão acima.

Passo 5

Da equação original, sabemos que:
dydx = z^2
Substituindo isso na express��o para dzdx = 1 + z^2 :
Agora, temos uma equação diferencial mais simples em termos de .

Passo 6

Vamos resolver a equação dz1 + z^2 = dx . Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e dos lados opostos da equação:
Agora, vamos integrar ambos os lados.

Passo 7

Integrando o lado esquerdo:
integral dz1 + z^2 = arctan(z) + C
E o lado direito:
integral dx = x + C
Igualando as integrais:
arctan(z) = x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, vamos resolver para z = tan(x + C) :
x + y + 1 = tan(x + C)
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 9

Finalmente, isolamos y = tan(x + C) - x - 1 para obter a solução da equação original:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = tan(x + C) - x - 1

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