Verifique que as seguintes funções satisfazem as hipóteses do teorema de Rolle, e depois achar todos os valores c no intervalo dado que satisfazem a conclusão do teorema
f(x)=\operatorname{sen}(x) no intervalo "π" / 8,7 "π" / 8.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sin(x) no intervalo \left[\dfrac{\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}\right] e pede duas coisas: verificar que as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas nesse intervalo e depois encontrar todos os valores c em \left(\dfrac{\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}\right) que satisfazem a conclusão do teorema (ou seja, os pontos onde f'\text{(c)}=0).

Passo 2

Vamos lembrar, de maneira bem didática, o que diz o teorema de Rolle e o que cada hipótese significa. O teorema de Rolle afirma:
\text{Se } f \text{ é contínua em } [a,b],\; f \text{ é diferenciável em } (a,b)\text{ e } f(a)=f(b),éíéá
então existe pelo menos um c em (a,b) tal que
f'\text{(c)}=0.
Explicando em miúdos:
  • "Contínua em [a,b]" significa que não há saltos nem buracos no gráfico de f entre a e b; formalmente, para cada x em [a,b] temos \lim_{t\to x} f(t)=f(x).
  • "Diferenciável em (a,b)" significa que em todos os pontos internos (a,b) a derivada f'(x) existe.
  • A condição f(a)=f(b) é essencial: o teorema garante um ponto interno onde a reta tangente é horizontal (derivada zero) quando os valores nas extremidades coincidem.

Passo 3

Verificação das hipóteses: continuidade e diferenciabilidade.
A função f(x)=\sin(x) é conhecida por ser contínua e diferenciável para todo x\in\mathbb{R}. Mais concretamente:
  • A função seno é uma função elementar obtida a partir do círculo trigonométrico; suas propriedades básicas dizem que ela é contínua em toda a reta, então é contínua em \left[\dfrac{\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}\right].
  • Além disso, a derivada de \sin(x) existe para todo x e vale \cos(x), então \sin(x) é diferenciável em \left(\dfrac{\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}\right).
Portanto, as duas primeiras hipóteses do teorema de Rolle estão satisfeitas.

Passo 4

Verificação da condição f(a)=f(b). Calculemos f nas extremidades:
f\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right).
Para o outro extremo,
f\!\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)=\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{8}\right).
Observe que \dfrac{7\pi}{8}=\pi-\dfrac{\pi}{8}. Usamos a identidade trigonométrica
\sin(\pi-\theta)=\sin(\theta)
válida para todo \theta. Aplicando com \theta=\dfrac{\pi}{8} obtemos
\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{8}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right).
Logo
f\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=f\!\left(\dfrac{7\pi}{8}\right),
ou seja, a terceira hipótese do teorema de Rolle também está satisfeita.

Passo 5

Pelas hipóteses verificadas, o teorema de Rolle garante que existe pelo menos um c em \left(\dfrac{\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}\right) tal que
f'\text{(c)}=0.

Passo 6

Agora encontramos explicitamente estes pontos c. Primeiro calculamos a derivada:
f'(x)=\cos(x).
Queremos resolver \cos(x)=0. A solução geral dessa equação é
x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
porque o cosseno zera nos ângulos de 90^\circ mais múltiplos de 180^\circ.
Precisamos escolher os x dessa forma que caiam no intervalo aberto \left(\dfrac{\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}\right). Observe que
\dfrac{\pi}{8}<\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{7\pi}{8},
pois \dfrac{\pi}{8}\approx 22{,}5^\circ, \dfrac{\pi}{2}=90^\circ e \dfrac{7\pi}{8}\approx157{,}5^\circ. Para k=0 obtemos x=\dfrac{\pi}{2}, que está dentro do intervalo. Para k=1 obtemos x=\dfrac{\pi}{2}+\pi=\dfrac{3\pi}{2}, que é maior que \dfrac{7\pi}{8}; para k=-1 obtemos x=-\dfrac{\pi}{2}, que é menor que \dfrac{\pi}{8}. Logo nenhum outro inteiro k produz pontos dentro do nosso intervalo.
Portanto, o único c em \left(\dfrac{\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}\right) com f'\text{(c)}=0 é
c=\dfrac{\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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