Verifique que as seguintes funções satisfazem as hipóteses do teorema de Rolle, e depois achar todos os valores
no intervalo dado que satisfazem a conclusão do teorema
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
no intervalo
e pede duas coisas: verificar que as hipóteses do teorema de Rolle são satisfeitas nesse intervalo e depois encontrar todos os valores
em
que satisfazem a conclusão do teorema (ou seja, os pontos onde
).
Passo 2
Vamos lembrar, de maneira bem didática, o que diz o teorema de Rolle e o que cada hipótese significa. O teorema de Rolle afirma:
então existe pelo menos um
em
tal que
Explicando em miúdos:
- "Contínua em
" significa que não há saltos nem buracos no gráfico de entre e ; formalmente, para cada em temos . - "Diferenciável em
" significa que em todos os pontos internos a derivada existe. - A condição
é essencial: o teorema garante um ponto interno onde a reta tangente é horizontal (derivada zero) quando os valores nas extremidades coincidem.
Passo 3
Verificação das hipóteses: continuidade e diferenciabilidade.
A função
é conhecida por ser contínua e diferenciável para todo
. Mais concretamente:
- A função seno é uma função elementar obtida a partir do círculo trigonométrico; suas propriedades básicas dizem que ela é contínua em toda a reta, então é contínua em
. - Além disso, a derivada de
existe para todo e vale , então é diferenciável em .
Portanto, as duas primeiras hipóteses do teorema de Rolle estão satisfeitas.
Passo 4
Verificação da condição
. Calculemos
nas extremidades:
Para o outro extremo,
Observe que
. Usamos a identidade trigonométrica
válida para todo
. Aplicando com
obtemos
Logo
ou seja, a terceira hipótese do teorema de Rolle também está satisfeita.
Passo 5
Pelas hipóteses verificadas, o teorema de Rolle garante que existe pelo menos um
em
tal que
Passo 6
Agora encontramos explicitamente estes pontos
. Primeiro calculamos a derivada:
Queremos resolver
. A solução geral dessa equação é
porque o cosseno zera nos ângulos de
mais múltiplos de
.
Precisamos escolher os
dessa forma que caiam no intervalo aberto
. Observe que
pois
,
e
. Para
obtemos
, que está dentro do intervalo. Para
obtemos
, que é maior que
; para
obtemos
, que é menor que
. Logo nenhum outro inteiro
produz pontos dentro do nosso intervalo.
Portanto, o único
em
com
é