Verifique que as seguintes funções satisfazem as hipóteses do teorema do valor médio, e depois achar todos os valores
no intervalo dado que satisfazem a conclusão do teorema
no intervalo [1,4].
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede duas coisas: (1) verificar que as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para
em
; (2) encontrar todos os valores
em
que satisfazem a conclusão do teorema, ou seja, que verificam
Passo 2
Vou recordar a conclusão do teorema do valor médio de forma prática (só a fórmula que precisamos): se uma função é contínua em
e diferenciável em
, então existe pelo menos um ponto
tal que
Aqui teremos
e
. Primeiro verificamos as hipóteses (continuidade e diferenciabilidade); depois calculamos o lado direito e a derivada e resolvemos a equação.
Passo 3
Verificando as hipóteses:
é uma função racional; é contínua e diferenciável em todo ponto onde o denominador não é zero. No intervalo dado temos
, logo
para todo
. Portanto
é contínua em
e diferenciável em
. Assim as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas.
Passo 4
Calcular o coeficiente angular médio (o lado direito da igualdade):
Primeiro os valores nos extremos:
Primeiro os valores nos extremos:
Agora a razão incrementada:
Passo 5
Calcular a derivada
de forma clara: escrevemos
. Aplicando a regra da cadeia (ou a regra do poder):
Aqui o
vem do expoente como em
’ =
, e
porque
.
Passo 6
Agora imponho a condição do teorema, isto é, resolvo
Substituindo
:
Multiplicando ambos os lados por
e invertendo:
Tomando raiz quadrada:
Agora observamos que para
temos
, ou seja,
é positivo. Portanto a solução com sinal negativo não é admissível. Assim
Checando numericamente,
, que está realmente no intervalo
. Não há outra solução em
.
Passo 7
Conclusão: as hipóteses do teorema foram verificadas e existe exatamente um
que satisfaz a igualdade do teorema, dado pela fórmula encontrada. Força aí — esse tipo de conta sai rapidinho na prova depois de praticar alguns exemplos iguais a este.