Verifique que as seguintes funções satisfazem as hipóteses do teorema do valor médio, e depois achar todos os valores c no intervalo dado que satisfazem a conclusão do teorema
f(x)=\frac{1}{x+2} no intervalo [1,4].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{1}{x+2} definida no intervalo [1,4] e pede duas coisas: (1) verificar que as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para f em [1,4]; (2) encontrar todos os valores c em (1,4) que satisfazem a conclusão do teorema, ou seja, que verificam
f'\text{(c)}=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}.

Passo 2

Vou recordar a conclusão do teorema do valor médio de forma prática (só a fórmula que precisamos): se uma função é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Aqui teremos a=1 e b=4. Primeiro verificamos as hipóteses (continuidade e diferenciabilidade); depois calculamos o lado direito e a derivada e resolvemos a equação.

Passo 3

Verificando as hipóteses: f(x)=\dfrac{1}{x+2} é uma função racional; é contínua e diferenciável em todo ponto onde o denominador não é zero. No intervalo dado temos x+2\ge 1+2=3>0, logo x+2\neq 0 para todo x\in[1,4]. Portanto f é contínua em [1,4] e diferenciável em (1,4). Assim as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas.

Passo 4

Calcular o coeficiente angular médio (o lado direito da igualdade):
Primeiro os valores nos extremos:
f(1)=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}, \qquad f(4)=\frac{1}{4+2}=\frac{1}{6}.
Agora a razão incrementada:
\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{\frac{1}{6}-\frac{1}{3}}{3}=\frac{\frac{1-2}{6}}{3}=\frac{-\frac{1}{6}}{3}=-\frac{1}{18}.

Passo 5

Calcular a derivada f'(x) de forma clara: escrevemos f(x)=(x+2)^{-1}. Aplicando a regra da cadeia (ou a regra do poder):
f'(x)=-1\cdot(x+2)^{-2}\cdot(1)=-\frac{1}{(x+2)^2}.
Aqui o -1 vem do expoente como em (u)^{n}’ = n u^{n-1} u', e u'=1 porque u=x+2.

Passo 6

Agora imponho a condição do teorema, isto é, resolvo
f'\text{(c)}=-\frac{1}{18}.
Substituindo f'\text{(c)}:
-\frac{1}{(c+2)^2}=-\frac{1}{18}.
Multiplicando ambos os lados por -1 e invertendo:
\frac{1}{(c+2)^2}=\frac{1}{18} \quad\Rightarrow\quad (c+2)^2=18.
Tomando raiz quadrada:
c+2=\pm\sqrt{18}=\pm 3\sqrt{2}.
Agora observamos que para c\in(1,4) temos c+2\in(3,6), ou seja, c+2 é positivo. Portanto a solução com sinal negativo não é admissível. Assim
c+2=3\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad c=3\sqrt{2}-2.
Checando numericamente, 3\sqrt{2}-2\approx 2{,}2426, que está realmente no intervalo (1,4). Não há outra solução em (1,4).

Passo 7

Conclusão: as hipóteses do teorema foram verificadas e existe exatamente um c\in(1,4) que satisfaz a igualdade do teorema, dado pela fórmula encontrada. Força aí — esse tipo de conta sai rapidinho na prova depois de praticar alguns exemplos iguais a este.

Resposta

c=3\sqrt{2}-2

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