Verifique as seguintes propriedades da função exponencial \left(z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in\right. \mathbb{Z} ): \left|e^{z}\right|=e^{x};
Passo 1
O enunciado pede para verificar a igualdade \left|e^{z}\right|=e^{x}. As informações dadas e o que vamos usar:
Tem-se um número complexo z.
Vou escrever z na forma usual z=x+iy, onde x e y são números reais. Aqui x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z.
A tarefa é mostrar que o módulo (valor absoluto) de e^{z} é exatamente e^{x}.
Passo 2
Relembrando definições essenciais (passo-a-passo, como se estivéssemos num rascunho de prova):
Definição do módulo de um complexo: para um número complexo w=u+iv com u,v\in\mathbb{R},
|w|=\sqrt{u^{2}+v^{2}}.
Expliquei isto porque vou aplicar diretamente essa fórmula depois.
Representação da exponencial complexa (fórmula de Euler estendida): para z=x+iy define-se
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\,e^{iy}.
Aqui usei a propriedade usual de exponenciais e^{a+b}=e^{a}e^{b}, válida para números complexos também. Agora, a parte e^{iy} é a que conhecemos pela fórmula de Euler:
e^{iy}=\cos y + i\sin y.
Portanto, combinando,
e^{z}=e^{x}\bigl(\cos y + i\sin y\bigr).
Passo 3
Calcule o módulo usando a forma e^{z}=e^{x}(\cos y + i\sin y). Aplicando a definição do módulo:
porque e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}. Assim a igualdade está verificada.
Passo 4
Apresento uma segunda maneira — útil para a prova e para ver outra ideia — que usa conjugado e propriedades algébricas:
Para qualquer complexo w vale |w|^{2}=w\overline{w}, onde \overline{w} é o conjugado complexo de w.
Observação: \overline{e^{z}}=e^{\overline{z}}. Uma justificativa rápida: a série de potências \displaystyle e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^{n}}{n!} tem coeficientes reais, então ao tomar conjugado termo a termo obtém-se \overline{e^{z}}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{\overline{z}^{\,n}}{n!}=e^{\overline{z}}.
Agora,
Tomando raiz positiva em ambos os lados (módulo é não negativo) dá
\left|e^{z}\right|=e^{x},
o mesmo resultado obtido antes.
Passo 5
Interpretação e exemplo numérico para fixar: a parte imaginária y só afeta a direção (argumento) de e^{z} no plano complexo — ela produz um fator unitário e^{iy} cuja magnitude é 1. Já o fator e^{x} escala a magnitude. Exemplo concreto: para z=1+i\pi/2 tem-se
e^{z}=e^{1}e^{i\pi/2}=e^{1}\bigl(0+i\bigr)=ie,
e realmente \left|e^{z}\right|=|ie|=e, que é e^{x} com x=1.