Verifique as seguintes propriedades da função exponencial \left(z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in\right. \mathbb{Z} ): e^{z} \neq 0, \forall z \in \mathbb{C};
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar (mostrar) que e^{z}\neq 0 para todo z\in\mathbb{C}.
Informações dadas / contexto que usaremos:
z é um número complexo arbitrário.
A função exponencial complexa e^{w} será tratada na sua definição por série de potências e nas propriedades que daí se seguem.
Passo 2
Definição da exponencial complexa e convergência da série (a ideia básica).
A função exponencial complexa é definida por série de potências para todo w\in\mathbb{C}:
e^{w}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{w^{k}}{k!}.
Essa série converge para todo w\in\mathbb{C} (raio de convergência infinito). Convergência absoluta significa que
\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{w^{k}}{k!}\right|
converge, logo podemos manipular a série com segurança (produto de séries absolutamente convergentes e rearranjos são permitidos).
Passo 3
Propriedade multiplicativa e^{u}e^{v}=e^{u+v} (prova via produto de séries).
Sejam u,v\in\mathbb{C}. Usando a definição em séries e o produto de Cauchy (válido porque as séries são absolutamente convergentes):
Isto mostra que e^{u} tem um inverso multiplicativo (que é e^{-u}), portanto e^{u}\neq 0.
Passo 5
Prova alternativa e intuitiva usando decomposição em parte real e imaginária (Euler).
Escrevendo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} e usando as séries de \cos e \sin (ou a fórmula de Euler), tem-se
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big).
O módulo de e^{z} é
|e^{z}|=e^{x}\sqrt{\cos^{2}y+\sin^{2}y}=e^{x}>0,
pois e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}. Se e^{z} fosse 0, teríamos |e^{z}|=0, o que contradiz e^{x}>0. Portanto e^{z}\neq 0.
Passo 6
Resumo e interpretação final (um jeitinho de lembrar na prova).
Pelo argumento da multiplicatividade, e^{z} tem inverso e^{-z}, então não pode ser zero.
Pelo argumento do módulo, e^{z} tem módulo positivo, então não pode ser zero.
Ambos são curtos e seguros para usar numa prova; escolha o que preferir (o da multiplicatividade costuma ser o mais elegante em provas formais).