Verifique as seguintes propriedades da função exponencial
\left(z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in\right. \mathbb{Z} ):
e^{z} \neq 0, \forall z \in \mathbb{C};

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar (mostrar) que e^{z}\neq 0 para todo z\in\mathbb{C}.
Informações dadas / contexto que usaremos:
  • z é um número complexo arbitrário.
  • A função exponencial complexa e^{w} será tratada na sua definição por série de potências e nas propriedades que daí se seguem.

Passo 2

Definição da exponencial complexa e convergência da série (a ideia básica).
A função exponencial complexa é definida por série de potências para todo w\in\mathbb{C}:
e^{w}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{w^{k}}{k!}.
Essa série converge para todo w\in\mathbb{C} (raio de convergência infinito). Convergência absoluta significa que
\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{w^{k}}{k!}\right|
converge, logo podemos manipular a série com segurança (produto de séries absolutamente convergentes e rearranjos são permitidos).

Passo 3

Propriedade multiplicativa e^{u}e^{v}=e^{u+v} (prova via produto de séries).
Sejam u,v\in\mathbb{C}. Usando a definição em séries e o produto de Cauchy (válido porque as séries são absolutamente convergentes):
e^{u}e^{v}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^{k}}{k!}\right)\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{v^{m}}{m!}\right) =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{u^{k}}{k!}\frac{v^{n-k}}{(n-k)!}.
Agora reorganizamos os coeficientes:
\sum_{k=0}^{n}\frac{u^{k}}{k!}\frac{v^{n-k}}{(n-k)!}=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{k}v^{n-k} =\frac{(u+v)^{n}}{n!}.
Portanto
e^{u}e^{v}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(u+v)^{n}}{n!}=e^{u+v}.
Essa é a identidade fundamental de multiplicatividade da exponencial.

Passo 4

Aplicação imediata com v=-u para obter o inverso multiplicativo.
Tome v=-u. Pela propriedade anterior:
e^{u}e^{-u}=e^{u+(-u)}=e^{0}.
Pela definição da série,
e^{0}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{0^{k}}{k!}=\frac{0^{0}}{0!}+\sum_{k=1}^{\infty}0=1.
Logo
e^{u}e^{-u}=1.
Isto mostra que e^{u} tem um inverso multiplicativo (que é e^{-u}), portanto e^{u}\neq 0.

Passo 5

Prova alternativa e intuitiva usando decomposição em parte real e imaginária (Euler).
Escrevendo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} e usando as séries de \cos e \sin (ou a fórmula de Euler), tem-se
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big).
O módulo de e^{z} é
|e^{z}|=e^{x}\sqrt{\cos^{2}y+\sin^{2}y}=e^{x}>0,
pois e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}. Se e^{z} fosse 0, teríamos |e^{z}|=0, o que contradiz e^{x}>0. Portanto e^{z}\neq 0.

Passo 6

Resumo e interpretação final (um jeitinho de lembrar na prova).
  • Pelo argumento da multiplicatividade, e^{z} tem inverso e^{-z}, então não pode ser zero.
  • Pelo argumento do módulo, e^{z} tem módulo positivo, então não pode ser zero.
    Ambos são curtos e seguros para usar numa prova; escolha o que preferir (o da multiplicatividade costuma ser o mais elegante em provas formais).

Resposta

e^{z}\neq 0,\\ \forall z\in\mathbb{C}

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