Verifique se os seguintes sistemas são invariantes no tempo:
\frac{d y(t)}{d t}+a \operatorname{sen}(y(t))=x(t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sistema
\frac{d y(t)}{d t} + a \sin\bigl(y(t)\bigr) = x(t)
é invariante no tempo. Aqui vamos usar a definição de invariança temporal: deslocar a entrada e verificar se a saída se desloca da mesma forma.

Passo 2

Definição de invariança no tempo: um sistema que a um sinal de entrada x(t) produz saída y(t) é invariante no tempo se, para todo deslocamento t_{0}, a entrada
x_{1}(t)=x(t - t_{0})
produz como saída
y_{1}(t)=y(t - t_{0}).

Passo 3

Suponha que, para a entrada x(t), a saída seja y(t) e satisfaça
\frac{d y(t)}{d t} + a \sin\bigl(y(t)\bigr) = x(t).
Defina a entrada deslocada
x_{1}(t)=x(t - t_{0})
e proponha a saída deslocada
y_{1}(t)=y(t - t_{0}).
Então
\frac{d y_{1}(t)}{d t} =\frac{d}{d t}\bigl[y(t - t_{0})\bigr] = y'\bigl(t - t_{0}\bigr),
e o lado esquerdo da equação para y_{1} fica
\frac{d y_{1}(t)}{d t} + a \sin\bigl(y_{1}(t)\bigr) = y'\bigl(t - t_{0}\bigr) + a \sin\bigl(y(t - t_{0})\bigr).
Pela equação original avaliada em t - t_{0}, temos
y'\bigl(t - t_{0}\bigr) + a \sin\bigl(y(t - t_{0})\bigr) = x(t - t_{0}) = x_{1}(t).
Logo
\frac{d y_{1}(t)}{d t} + a \sin\bigl(y_{1}(t)\bigr) = x_{1}(t),
mostrando que y_{1}(t) satisfaz a mesma lei do sistema para a entrada deslocada.

Passo 4

Não há dependência explícita de t na equação do sistema e o deslocamento da entrada resulta no mesmo deslocamento da saída. Portanto, o sistema é invariante no tempo.

Resposta

O sistema
\frac{d y(t)}{d t} + a \sin\bigl(y(t)\bigr) = x(t)
é invariante no tempo.

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