Verifique se os seguintes sistemas são invariantes no tempo:
y(t)=\cos (2 \pi t) x(t)

Passo 1

O sistema é dado por
y(t)=\cos(2\pi t)\,x(t).
Um sistema é invariante no tempo se, para toda entrada deslocada x(t-\tau), a saída for exatamente a saída original deslocada no mesmo valor, ou seja,
T\{x(t-\tau)\}=y(t-\tau).

Passo 2

Suponha a entrada deslocada
x_1(t)=x(t-\tau).
A saída correspondente pelo sistema é
y_1(t)=T\{x(t-\tau)\}=\cos(2\pi t)\,x(t-\tau).

Passo 3

Agora, a saída original deslocada em \tau seria
y(t-\tau) =\cos\bigl(2\pi\,(t-\tau)\bigr)\,x(t-\tau) =\cos(2\pi t-2\pi\tau)\,x(t-\tau).
Em geral \cos(2\pi t)\neq\cos(2\pi t-2\pi\tau),
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y_1(t)\neq y(t-\tau),
e o sistema não satisfaz a condição de invariância no tempo.

Resposta

O sistema não é invariante no tempo.

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