Verifique se os seguintes sistemas são lineares:
\frac{d y(t)}{d t}+a y(t)+b=x(t)

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema dado pela equação diferencial
\frac{d y(t)}{d t} + a\,y(t) + b = x(t),
onde a e b são constantes. O conteúdo aqui é verificar se esse sistema é linear, ou seja, se satisfaz o princípio da superposição (adição de respostas e homogeneidade).

Passo 2

Lembrando a definição: um sistema é linear se, para quaisquer entradas x_{1}(t) e x_{2}(t) com respostas correspondentes y_{1}(t) e y_{2}(t), e para quaisquer escalares \alpha,\beta, a entrada combinada
x(t) = \alpha\,x_{1}(t) + \beta\,x_{2}(t)
produz a saída
y(t) = \alpha\,y_{1}(t) + \beta\,y_{2}(t).

Passo 3

Suponha que y_{1}(t) seja resposta a x_{1}(t) e y_{2}(t) seja resposta a x_{2}(t). Então
\frac{d y_{1}}{d t} + a\,y_{1} + b = x_{1}, \qquad \frac{d y_{2}}{d t} + a\,y_{2} + b = x_{2}.
Considere a combinação \alpha\,x_{1} + \beta\,x_{2}. Se o sistema fosse linear, a resposta seria y = \alpha\,y_{1} + \beta\,y_{2}. Vamos ver se isso ocorre:
\frac{d}{d t}(\alpha y_{1} + \beta y_{2}) + a\bigl(\alpha y_{1} + \beta y_{2}\bigr) + b = \alpha\bigl(\tfrac{d y_{1}}{d t} + a\,y_{1}\bigr) + \beta\bigl(\tfrac{d y_{2}}{d t} + a\,y_{2}\bigr) + b.
Substituindo as equações originais:
= \alpha\,(x_{1}-b) + \beta\,(x_{2}-b) + b = \alpha\,x_{1} + \beta\,x_{2} + b\,(1 - \alpha - \beta).
Para que isso seja exatamente \alpha\,x_{1} + \beta\,x_{2} para todos \alpha,\beta, é necessário que
b\,(1 - \alpha - \beta) = 0\quad\forall\,\alpha,\beta,
o que só ocorre se b = 0.

Resposta

O sistema é linear somente no caso especial em que b=0. Se b \neq 0, ele não satisfaz o princípio da superposição e, portanto, não é linear.

Exercícios relacionados