Verifique se os seguintes sistemas são lineares:
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema dado pela equação diferencial
onde
e
são constantes. O conteúdo aqui é verificar se esse sistema é linear, ou seja, se satisfaz o princípio da superposição (adição de respostas e homogeneidade).
Passo 2
Lembrando a definição: um sistema é linear se, para quaisquer entradas
e
com respostas correspondentes
e
, e para quaisquer escalares
, a entrada combinada
produz a saída
Passo 3
Suponha que
seja resposta a
e
seja resposta a
. Então
Considere a combinação
. Se o sistema fosse linear, a resposta seria
. Vamos ver se isso ocorre:
Substituindo as equações originais:
Para que isso seja exatamente
para todos
, é necessário que
o que só ocorre se
.
Resposta
O sistema é linear somente no caso especial em que
. Se
, ele não satisfaz o princípio da superposição e, portanto, não é linear.