Verifique se os seguintes sistemas são lineares:
\frac{d y(t)}{d t}+a y(t)=x(t)

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema descrito pela equação
\frac{d y(t)}{d t} + a\,y(t) = x(t),
onde x(t) é a entrada e y(t) a saída. O conteúdo que vamos usar é o de sistemas lineares, isto é, precisamos mostrar que este sistema satisfaz o princípio da superposição e da homogeneidade.

Passo 2

Para verificar linearidade, considere duas entradas x_1(t) e x_2(t) que geram, respectivamente, as saídas y_1(t) e y_2(t) segundo
\frac{d y_1(t)}{d t} + a\,y_1(t) = x_1(t), \quad \frac{d y_2(t)}{d t} + a\,y_2(t) = x_2(t).
Se tomarmos uma combinação linear das entradas,
x(t) = \alpha\,x_1(t) + \beta\,x_2(t),
e formos testar como saída a combinação
y(t) = \alpha\,y_1(t) + \beta\,y_2(t),
então
\frac{d y(t)}{d t} + a\,y(t) = \alpha\,\frac{d y_1(t)}{d t} + \beta\,\frac{d y_2(t)}{d t} + a\bigl(\alpha\,y_1(t) + \beta\,y_2(t)\bigr) = \alpha\bigl(\tfrac{d y_1(t)}{d t}+a\,y_1(t)\bigr) + \beta\bigl(\tfrac{d y_2(t)}{d t}+a\,y_2(t)\bigr) = \alpha\,x_1(t) + \beta\,x_2(t) = x(t).
Isso mostra que a combinação \alpha\,y_1(t)+\beta\,y_2(t) é exatamente a saída para a entrada \alpha\,x_1(t)+\beta\,x_2(t), logo o sistema satisfaz o princípio da superposição (e, em particular, a homogeneidade).

Resposta

O sistema
\frac{d y(t)}{d t} + a\,y(t) = x(t)
é linear.

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