Verifique se os seguintes sistemas são lineares:
\left\{\int_{-\infty}^{t} y(\tau) d \tau\right\}+a y(t)=\frac{d x(t)}{d t}

Passo 1

O enunciado define um sistema cujo sinal de entrada é x(t) e o sinal de saída é y(t), relacionados pela equação integral-diferencial
\int_{-\infty}^{t} y(\tau)\,d\tau \;+\; a\,y(t) \;=\;\frac{d\,x(t)}{d t}.
Queremos verificar se esse sistema satisfaz ao princípio da superposição, ou seja, se for dado um par de entrada-saída \{x_1,y_1\} e outro \{x_2,y_2\}, então para quaisquer escalares \alpha,\beta a combinação \alpha x_1+\beta x_2 gera a saída \alpha y_1+\beta y_2.

Passo 2

Suponha que \{x_1,y_1\} e \{x_2,y_2\} satisfaçam a equação do sistema:
\int_{-\infty}^{t} y_1(\tau)\,d\tau + a\,y_1(t) = \frac{d\,x_1(t)}{dt},
\int_{-\infty}^{t} y_2(\tau)\,d\tau + a\,y_2(t) = \frac{d\,x_2(t)}{dt}.
Considere agora a entrada combinada
x(t) = \alpha\,x_1(t) + \beta\,x_2(t)
e proponha como saída
y(t) = \alpha\,y_1(t) + \beta\,y_2(t).

Passo 3

Substituindo y(t) na parte integral do sistema, temos
\int_{-\infty}^{t} y(\tau)\,d\tau = \int_{-\infty}^{t} \bigl(\alpha\,y_1(\tau)+\beta\,y_2(\tau)\bigr)\,d\tau = \alpha\!\int_{-\infty}^{t} y_1(\tau)\,d\tau + \beta\!\int_{-\infty}^{t} y_2(\tau)\,d\tau.
E para a parte algébrica
a\,y(t) = a\,\bigl(\alpha\,y_1(t)+\beta\,y_2(t)\bigr) = \alpha\,a\,y_1(t) + \beta\,a\,y_2(t).
Somando as duas parcelas:
\int_{-\infty}^{t} y(\tau)\,d\tau + a\,y(t) = \alpha\!\Bigl(\int_{-\infty}^{t} y_1 + a\,y_1\Bigr) + \beta\!\Bigl(\int_{-\infty}^{t} y_2 + a\,y_2\Bigr).
Pela hipótese, cada par \{x_i,y_i\} satisfaz \int_{-\infty}^{t} y_i + a\,y_i = d x_i/dt. Logo
\int_{-\infty}^{t} y + a\,y = \alpha\,\frac{d x_1}{dt} + \beta\,\frac{d x_2}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(\alpha\,x_1 + \beta\,x_2\bigr) = \frac{d\,x(t)}{dt}.
Portanto \{x,y\} = \{\alpha x_1+\beta x_2,\;\alpha y_1+\beta y_2\} satisfaz a mesma equação do sistema.

Passo 4

Demonstramos que qualquer combinação linear de entradas gera a mesma combinação linear das saídas correspondentes. Isso significa que o sistema satisfaz o princípio da superposição e é, portanto, linear.

Resposta

O sistema é linear.

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