Verifique se os seguintes sistemas são lineares:
\frac{d y(t)}{d t}+a \operatorname{sen}(y(t))=x(t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sistema
\frac{d y(t)}{d t} + a\,\operatorname{sen}\bigl(y(t)\bigr) \;=\; x(t)
é linear. O conteúdo envolve definição de linearidade de sistemas dinâmicos, isto é, testar superposição (aditividade) e homogeneidade.

Passo 2

Lembrando os critérios de linearidade: um sistema S com entrada x e saída y=S\{x\} é linear se, para quaisquer entradas x_1, x_2 e escalares \alpha,\beta, vale
S\{\alpha x_1 + \beta x_2\} \;=\; \alpha\,S\{x_1\} \;+\;\beta\,S\{x_2\}.
Isso equivale a verificar separadamente aditividade e homogeneidade.

Passo 3

Suponha que para entrada x_1(t) a solução seja y_1(t) e para x_2(t) a solução seja y_2(t). Então
\frac{d y_1}{d t} + a\,\operatorname{sen}(y_1) = x_1, \qquad \frac{d y_2}{d t} + a\,\operatorname{sen}(y_2) = x_2.
Considere agora a combinação \alpha x_1 + \beta x_2 e suponha a saída candidata \alpha y_1 + \beta y_2. Calculamos
\frac{d}{dt}\bigl(\alpha y_1 + \beta y_2\bigr) + a\,\operatorname{sen}\!\bigl(\alpha y_1 + \beta y_2\bigr).
O termo derivada separa-se linearmente em \alpha\,\tfrac{d y_1}{dt} + \beta\,\tfrac{d y_2}{dt}, mas o termo a\,\operatorname{sen}(\cdot) não se separa porque
\operatorname{sen}(\alpha y_1 + \beta y_2) \neq \alpha\,\operatorname{sen}(y_1) + \beta\,\operatorname{sen}(y_2)
em geral. Logo a superposição falha.

Passo 4

Como falha a propriedade de aditividade (ou de homogeneidade) por causa da função \operatorname{sen}(\cdot), o sistema não é linear.

Resposta

O sistema não é linear.

Exercícios relacionados