Verifique se a segunda derivada da função x em relação a t mais \omega^{2} x=0 é solução
\mathrm{x}=\mathrm{C} \_1 ~ \mathrm{cos}(\backslash omega t )+\mathrm{C} \_2 ~ \backslash \operatorname{sen}(\backslash omega t) onde C_{1}, C_{2} e \omega são constantes.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede verificar:
  • Dada a equação diferencial ordinária
\ddot{x}+\omega^{2}x=0,
onde \ddot{x} é a segunda derivada de x em relação a t e \omega é uma constante.
  • A função proposta é
x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t),
com C_{1} e C_{2} constantes.
O que vamos fazer: calcular \dot{x} e \ddot{x} a partir de x(t), substituir na equação \ddot{x}+\omega^{2}x e verificar se o resultado é zero. Se for zero, então a função é solução.

Passo 2

Revisão rápida das regras de derivação que usarei (explicação didática):
  • Regra da derivada de funções trigonométricas: a derivada de \cos(u) em relação a t é -\sin(u)\cdot u', e a derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'. Aqui usei a regra da cadeia: se u=u(t), então \dfrac{d}{dt}\cos(u)= -\sin(u)\dfrac{du}{dt}.
  • No nosso caso u(t)=\omega t, então \dfrac{d}{dt}(\omega t)=\omega porque \omega é constante. Assim, ao derivar \cos(\omega t) aparece um fator -\omega\sin(\omega t) e ao derivar \sin(\omega t) aparece um fator \omega\cos(\omega t).

Passo 3

Calcular a primeira derivada \dot{x}(t) de forma passo a passo:
Derivando termo a termo,
\frac{d}{dt}\big(C_{1}\cos(\omega t)\big)=C_{1}\cdot\big(-\omega\sin(\omega t)\big)=-C_{1}\omega\sin(\omega t),
\frac{d}{dt}\big(C_{2}\sin(\omega t)\big)=C_{2}\cdot\big(\omega\cos(\omega t)\big)=C_{2}\omega\cos(\omega t).
Somando,
\dot{x}(t)=-C_{1}\omega\sin(\omega t)+C_{2}\omega\cos(\omega t).

Passo 4

Calcular a segunda derivada \ddot{x}(t) derivando \dot{x}(t) e aplicando novamente a regra da cadeia:
Derivando o primeiro termo de \dot{x}:
\frac{d}{dt}\big(-C_{1}\omega\sin(\omega t)\big)=-C_{1}\omega\cdot\big(\omega\cos(\omega t)\big)=-C_{1}\omega^{2}\cos(\omega t).
Derivando o segundo termo de \dot{x}:
\frac{d}{dt}\big(C_{2}\omega\cos(\omega t)\big)=C_{2}\omega\cdot\big(-\omega\sin(\omega t)\big)=-C_{2}\omega^{2}\sin(\omega t).
Somando,
\ddot{x}(t)=-C_{1}\omega^{2}\cos(\omega t)-C_{2}\omega^{2}\sin(\omega t).
Fatorando -\omega^{2},
\ddot{x}(t)=-\omega^{2}\big(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\big).
Observação: a expressão entre parênteses é exatamente x(t). Portanto
\ddot{x}(t)=-\omega^{2}x(t).

Passo 5

Substituir \ddot{x}(t) na equação diferencial:
A equação pede \ddot{x}+\omega^{2}x. Substituindo o resultado do passo anterior,
\ddot{x}+\omega^{2}x = \big(-\omega^{2}x\big)+\omega^{2}x=0.
Como a soma é zero, concluímos que a função dada satisfaz a equação diferencial para quaisquer constantes C_{1},C_{2} e qualquer constante \omega.
Comentário didático final (rápido): a equação é linear e homogênea de segunda ordem, por isso combinações lineares de soluções básicas (aqui \cos(\omega t) e \sin(\omega t)) também são soluções — é por isso que aparecem duas constantes arbitrárias C_{1} e C_{2}, correspondendo à ordem 2 da equação.

Resposta

Sim. x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t) satisfaz \ddot{x}+\omega^{2}x=0 para quaisquer constantes C_{1},C_{2} e \omega.

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