Verifique se a segunda derivada da função
em relação a
mais
é solução
omega t
omega t) onde
e
são constantes.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede verificar:
- Dada a equação diferencial ordinária
onde
é a segunda derivada de
em relação a
e
é uma constante.
- A função proposta é
com
e
constantes.
O que vamos fazer: calcular
e
a partir de
, substituir na equação
e verificar se o resultado é zero. Se for zero, então a função é solução.
Passo 2
Revisão rápida das regras de derivação que usarei (explicação didática):
- Regra da derivada de funções trigonométricas: a derivada de
em relação a é , e a derivada de é . Aqui usei a regra da cadeia: se , então . - No nosso caso
, então porque é constante. Assim, ao derivar aparece um fator e ao derivar aparece um fator .
Passo 3
Calcular a primeira derivada
de forma passo a passo:
Derivando termo a termo,
Somando,
Passo 4
Calcular a segunda derivada
derivando
e aplicando novamente a regra da cadeia:
Derivando o primeiro termo de
:
Derivando o segundo termo de
:
Somando,
Fatorando
,
Observação: a expressão entre parênteses é exatamente
. Portanto
Passo 5
Substituir
na equação diferencial:
A equação pede
. Substituindo o resultado do passo anterior,
Como a soma é zero, concluímos que a função dada satisfaz a equação diferencial para quaisquer constantes
e qualquer constante
.
Comentário didático final (rápido): a equação é linear e homogênea de segunda ordem, por isso combinações lineares de soluções básicas (aqui
e
) também são soluções — é por isso que aparecem duas constantes arbitrárias
e
, correspondendo à ordem 2 da equação.
Resposta
Sim.
satisfaz
para quaisquer constantes
e
.