Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos): Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes cujos tamanhos são apropriados para as operações indicadas.
Se A cdot B=C e duas das matrizes são invertíveis, então a terceira também é.

Passo 1

O enunciado afirma que, dadas matrizes A, B e C com dimensões compatíveis, se
Acdot B = C
e duas delas são invertíveis, então a terceira também é invertível.
O conteúdo que vamos usar é o fato básico de álgebra de matrizes: a inversa de um produto de matrizes invertíveis existe e vale o produto das inversas na ordem inversa, e que podemos isolar qualquer fator multiplicando por inversa à esquerda ou à direita.

Passo 2

Caso 1: suponha que A e B sejam invertíveis.
Então o produto C = Acdot B é produto de matrizes invertíveis, logo também invertível. Mais precisamente, usamos
(Acdot B)^-1 = B^-1cdot A^-1,
que é uma matriz bem definida e é a inversa de C. Portanto C é invertível.

Passo 3

Caso 2: suponha que A e C sejam invertíveis.
Como C = Acdot B, multiplicamos à esquerda por A^-1 para isolar B:
A^-1cdot C = A^-1cdot (Acdot B) = (A^-1cdot A)cdot B = Icdot B = B
Logo
B = A^-1cdot C,
produto de duas matrizes invertíveis, e portanto B é invertível.

Passo 4

Caso 3: suponha que B e C sejam invertíveis.
Como C = Acdot B, multiplicamos à direita por B^-1 para isolar A:
Ccdot B^-1 = (Acdot B)cdot B^-1 = Acdot (Bcdot B^-1) = Acdot I = A
Logo
A = Ccdot B^-1,
produto de duas matrizes invertíveis, e portanto A é invertível.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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