Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos): Nas afirmativas abaixo,
e
são matrizes cujos tamanhos são apropriados para as operações indicadas.
Se
e duas das matrizes são invertíveis, então a terceira também é.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, dadas matrizes
,
e
com dimensões compatíveis, se
e duas delas são invertíveis, então a terceira também é invertível.
O conteúdo que vamos usar é o fato básico de álgebra de matrizes: a inversa de um produto de matrizes invertíveis existe e vale o produto das inversas na ordem inversa, e que podemos isolar qualquer fator multiplicando por inversa à esquerda ou à direita.
O conteúdo que vamos usar é o fato básico de álgebra de matrizes: a inversa de um produto de matrizes invertíveis existe e vale o produto das inversas na ordem inversa, e que podemos isolar qualquer fator multiplicando por inversa à esquerda ou à direita.
Passo 2
Caso 1: suponha que
e
sejam invertíveis.
Então o produto é produto de matrizes invertíveis, logo também invertível. Mais precisamente, usamos
Então o produto
que é uma matriz bem definida e é a inversa de
. Portanto
é invertível.
Passo 3
Caso 2: suponha que
e
sejam invertíveis.
Como , multiplicamos à esquerda por
para isolar
:
Como
Logo
produto de duas matrizes invertíveis, e portanto
é invertível.
Passo 4
Caso 3: suponha que
e
sejam invertíveis.
Como , multiplicamos à direita por
para isolar
:
Como
Logo
produto de duas matrizes invertíveis, e portanto
é invertível.
Resposta
A afirmativa é verdadeira.