Verifique se as sequências são limitadas superiormente e/ou inferiormente:
c_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
c_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}
e pede para verificar se ela é limitada superiormente e/ou limitada inferiormente. O conteúdo aqui é o conceito de sequência limitada: existe um M tal que c_{n}\le M para todo n (limite superior) e existe um m tal que c_{n}\ge m para todo n (limite inferior).

Passo 2

Para entender o comportamento de \{c_{n}\}, observe que:
  • Se n for par, então (-1)^{n}=1 e
c_{n} = \frac{1}{n} > 0.
  • Se n for ímpar, então (-1)^{n}=-1 e
c_{n} = -\frac{1}{n} < 0.
Além disso, \bigl|c_{n}\bigr| = 1/n é decrescente e tende a zero quando n\to\infty.

Passo 3

Para achar um limite superior M, escolhemos
M = \frac{1}{2}.
De fato, para todo n\ge1:
  • Se n é par, c_{n} = 1/n \le 1/2 porque n\ge2.
  • Se n é ímpar, c_{n} = -1/n \le 1/2 pois o termo é negativo ou zero.
Logo, c_{n}\le \tfrac12 para todo n, e a sequência é limitada superiormente por M=\tfrac12.

Passo 4

Para achar um limite inferior m, escolhemos
m = -1.
De fato, para todo n\ge1:
  • Se n é ímpar, c_{n} = -1/n \ge -1 porque -1/n \ge -1 para n\ge1.
  • Se n é par, c_{n} = 1/n \ge -1 pois o termo é positivo.
Logo, c_{n}\ge -1 para todo n, e a sequência é limitada inferiormente por m=-1.

Resposta

A sequência \bigl(c_{n}\bigr) é limitada superiormente por \displaystyle \tfrac12 e limitada inferiormente por -1.

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