Verifique se as sequências são limitadas superiormente e/ou inferiormente:
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para verificar se ela é limitada superiormente e/ou inferiormente. Para isso vamos analisar o sinal de
e identificar um majorante (limite superior) e um minorante (limite inferior).
Passo 2
Mostramos primeiro que cada termo é positivo, logo existe um minorante. Note que, para todo
,
portanto
Isso prova que
é um minorante da sequência.
Passo 3
Para achar um majorante, observamos que a função
é decrescente em
. Uma forma direta é reescrever
Como
cresce com
, o menor valor de
ocorre em
, ou seja
Assim,
Logo
é um majorante da sequência.
Passo 4
Como já mostramos que
-
para todo , temos um minorante finito , -
para todo , temos um majorante finito ,
podemos concluir que a sequência é limitada superiormente e inferiormente.
Resposta
A sequência
é limitada inferiormente por
e limitada superiormente por
.