Verifique se as sequências são limitadas superiormente e/ou inferiormente:
d_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
d_{n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}
e pede para verificar se ela é limitada superiormente e/ou inferiormente. Para isso vamos analisar o sinal de d_{n} e identificar um majorante (limite superior) e um minorante (limite inferior).

Passo 2

Mostramos primeiro que cada termo é positivo, logo existe um minorante. Note que, para todo n\ge1, \sqrt{n+1} > \sqrt{n} portanto
d_{n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} > 0.
Isso prova que \,0 é um minorante da sequência.

Passo 3

Para achar um majorante, observamos que a função f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x} é decrescente em x\ge1. Uma forma direta é reescrever
d_{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.
Como \sqrt{n+1}+\sqrt{n} cresce com n, o menor valor de \sqrt{n+1}+\sqrt{n} ocorre em n=1, ou seja
\sqrt{1+1} + \sqrt{1} = \sqrt{2} + 1.
Assim,
d_{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1.
Logo \sqrt{2}-1 é um majorante da sequência.

Passo 4

Como já mostramos que
  1. d_{n}>0 para todo n, temos um minorante finito 0,
  2. d_{n}\le \sqrt{2}-1 para todo n, temos um majorante finito \sqrt{2}-1,
podemos concluir que a sequência é limitada superiormente e inferiormente.

Resposta

A sequência \bigl(d_{n}\bigr) é limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por \sqrt{2}-1.

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