Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com n-ésimo termo dado por:
a_{n}=4-\frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência (a_n) definida por
a_n = 4 - \frac{1}{n},
e pede para verificarmos se ela é monótona e se é limitada.
Para isso, vamos usar:
– Definição de sequência crescente: (a_n) é crescente se, para todo n, a_{n+1}\ge a_n (estritamente crescente se >).
– Definição de sequência limitada: existe m e M tais que m\le a_n\le M para todo n.

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, comparamos a_{n+1} e a_n.
a_{n+1} = 4 - \frac{1}{n+1}, \quad a_n = 4 - \frac{1}{n}.
Então
a_{n+1} - a_n = \Bigl(4 - \tfrac{1}{n+1}\Bigr) - \Bigl(4 - \tfrac{1}{n}\Bigr) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.
Como para todo n\ge1 vale \tfrac{1}{n}>\tfrac{1}{n+1}, segue
a_{n+1}-a_n>0,
ou seja, a_{n+1}>a_n. Logo a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Para verificar se é limitada, note que para todo n\ge1 temos 0<\tfrac{1}{n}\le1. Assim
3 = 4 - 1 \le 4 - \frac{1}{n} < 4.
Logo
3 \le a_n < 4
para todo n. Assim, a sequência é limitada inferiormente por 3 e superiormente por 4.

Resposta

A sequência (a_n) é estritamente crescente e limitada (tem limite inferior 3 e limite superior 4).

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