Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com
-ésimo termo dado por:
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
definida por
e pede para verificarmos se ela é monótona e se é limitada.
Para isso, vamos usar:
– Definição de sequência crescente: é crescente se, para todo
,
(estritamente crescente se
).
– Definição de sequência limitada: existe e
tais que
para todo
.
Para isso, vamos usar:
– Definição de sequência crescente:
– Definição de sequência limitada: existe
Passo 2
Para estudar a monotonicidade, comparamos
e
.
Então
Como para todo
vale
, segue
ou seja,
. Logo a sequência é estritamente crescente.
Passo 3
Para verificar se é limitada, note que para todo
temos
. Assim
Logo
para todo
. Assim, a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Resposta
A sequência
é estritamente crescente e limitada (tem limite inferior
e limite superior
).