Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com
-ésimo termo dado por:
Passo 1
O enunciado pede para determinarmos a monotonicidade e a limitação da sequência cujo
-ésimo termo é
O conteúdo envolve estudo de monotonicidade via diferença de termos consecutivos e análise de limite (para mostrar se há cotas).
Passo 2
Vamos calcular a diferença entre termos consecutivos:
Expandindo o numerador:
Logo,
Passo 3
Como para todo
o denominador
é positivo, segue que
Portanto a sequência é estritamente crescente.
Passo 4
Para ver as cotas, note que
Além disso
. Como a sequência é crescente, todos os
satisfazem
isto é, a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Resposta
A sequência
é estritamente crescente e limitada, com