Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com n-ésimo termo dado por:
a_{n}=\frac{3 n}{n+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos a monotonicidade e a limitação da sequência cujo n-ésimo termo é
a_{n} = \frac{3n}{n+2}.
O conteúdo envolve estudo de monotonicidade via diferença de termos consecutivos e análise de limite (para mostrar se há cotas).

Passo 2

Vamos calcular a diferença entre termos consecutivos:
a_{n+1} - a_n = 3\frac{n+1}{n+3} \;-\; 3\frac{n}{n+2} = \frac{3\bigl((n+1)(n+2)-n(n+3)\bigr)}{(n+3)(n+2)}.
Expandindo o numerador:
(n+1)(n+2)-n(n+3) = n^2+3n+2 - (n^2+3n) = 2.
Logo,
a_{n+1} - a_n = \frac{3\cdot 2}{(n+2)(n+3)} = \frac{6}{(n+2)(n+3)}.

Passo 3

Como para todo n\ge1 o denominador (n+2)(n+3) é positivo, segue que
a_{n+1} - a_n = \frac{6}{(n+2)(n+3)} > 0.
Portanto a sequência é estritamente crescente.

Passo 4

Para ver as cotas, note que
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{3n}{n+2} = 3.
Além disso a_1 = 3\cdot1/(1+2)=1. Como a sequência é crescente, todos os a_n satisfazem
a_1 \le a_n < 3,
isto é, a sequência é limitada inferiormente por 1 e superiormente por 3.

Resposta

A sequência \bigl(a_n\bigr) é estritamente crescente e limitada, com
1 \le a_n < 3.

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