Verifique se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}};

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}}
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas e observações iniciais que vou usar:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}}.
  • A magnitude do termo é b_n=|a_n|=\dfrac{1}{\sqrt{n}}, que é positiva para todo n.
  • A classificação pede testar a convergência da série original e também da série de termos absolutos \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}.

Passo 2

Teste da convergência absoluta: analisar \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
Aqui entra o teste da série p (série-p): a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1. No nosso caso p=\tfrac{1}{2}, porque \dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{n^{1/2}}. Como \tfrac{1}{2}\le 1, pela regra da série- p concluímos que a série dos módulos diverge.
Para quem quer ver de outro jeito (intuitivo): use o teste da integral. Considere a função f(x)=x^{-1/2} positiva e decrescente para x\ge1. Então
\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx=\left[2x^{1/2}\right]_{1}^{\infty}= \lim_{t\to\infty}2\sqrt{t}-2 = \infty,
logo a série \sum_{n=1}^{\infty}1/\sqrt{n} diverge. Portanto a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Teste da convergência condicional (teste de Leibniz para séries alternadas):
O teste de Leibniz diz que a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n
converge se as seguintes condições forem satisfeitas:
  1. b_n\ge 0 para todo n,
  2. b_n é monotonicamente decrescente (a partir de algum N),
  3. \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
No nosso caso podemos reescrever o sinal alternado: (-1)^{n-3}=(-1)^n\cdot(-1)^{-3}=(-1)^n até uma constante de sinal, portanto a série é alternada em sinais. Tomamos b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
Agora verifico as três condições:
  • b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}>0 para todo n. (Ok.)
  • b_n é decrescente: se n+1>n então \sqrt{n+1}>\sqrt{n} e, tomando recíprocos, \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Assim b_{n+1}<b_n para todo n, logo é monotonicamente decrescente.
  • \lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0. (Porque o denominador cresce sem limite.)
Como todas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}}
converge.

Passo 4

Conclusão final sobre o tipo de convergência: a série converge (pelo teste de Leibniz) mas a série dos módulos diverge (pela série- p com p=\tfrac{1}{2}). Portanto a convergência não é absoluta, é condicional.
(Empurrão final: é o mesmo comportamento da série alternada harmônica \sum (-1)^{n}/n: convergente, mas não absolutamente, só que aqui os termos são um pouco maiores, \dfrac{1}{\sqrt{n}}, e por isso a soma dos módulos diverge ainda mais rápido.)

Resposta

Condicionalmente convergente.

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