Verifique se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas e observações iniciais que vou usar:
Informações dadas e observações iniciais que vou usar:
- O termo geral é
. - A magnitude do termo é
, que é positiva para todo . - A classificação pede testar a convergência da série original e também da série de termos absolutos
.
Passo 2
Teste da convergência absoluta: analisar
.
Aqui entra o teste da série (série-p): a série
Aqui entra o teste da série
converge se, e somente se,
; diverge se
. No nosso caso
, porque
. Como
, pela regra da série-
concluímos que a série dos módulos diverge.
Para quem quer ver de outro jeito (intuitivo): use o teste da integral. Considere a função
positiva e decrescente para
. Então
logo a série
diverge. Portanto a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Teste da convergência condicional (teste de Leibniz para séries alternadas):
O teste de Leibniz diz que a série alternada
O teste de Leibniz diz que a série alternada
converge se as seguintes condições forem satisfeitas:
-
para todo , -
é monotonicamente decrescente (a partir de algum ), -
.
No nosso caso podemos reescrever o sinal alternado:
até uma constante de sinal, portanto a série é alternada em sinais. Tomamos
.
Agora verifico as três condições:
-
para todo . (Ok.) -
é decrescente: se então e, tomando recíprocos, . Assim para todo , logo é monotonicamente decrescente. -
. (Porque o denominador cresce sem limite.)
Como todas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas, a série alternada
converge.
Passo 4
Conclusão final sobre o tipo de convergência: a série converge (pelo teste de Leibniz) mas a série dos módulos diverge (pela série-
com
). Portanto a convergência não é absoluta, é condicional.
(Empurrão final: é o mesmo comportamento da série alternada harmônica
: convergente, mas não absolutamente, só que aqui os termos são um pouco maiores,
, e por isso a soma dos módulos diverge ainda mais rápido.)
Resposta
Condicionalmente convergente.