Para quais valores de x, a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(x+n)(x+n-1)} converge?

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(x+n)(x+n-1)}
e pede: para quais valores de x essa série converge?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n(x)=\dfrac{1}{(x+n)(x+n-1)}.
  • Para que cada termo esteja definido é necessário que nenhum denominador seja zero, isto é, para todo n\ge 1 deve valer x+n\neq 0 e x+n-1\neq 0.
  • Os valores de x que anulam um denominador para algum n\ge1 são x=-n e x=1-n. Portanto os valores proibidos (onde a série não está nem definida) são
x\in\{0,-1,-2,-3,\dots\}.

Passo 2

Vamos transformar o termo geral por frações parciais — isso frequentemente torna séries com fatores consecutivos telescópicas e fáceis de somar.
Mostrarei a identidade elementar usada:
\frac{1}{(x+n-1)(x+n)}=\frac{1}{x+n-1}-\frac{1}{x+n}.
Verificação direta (bastante didática): calcular a diferença
\frac{1}{x+n-1}-\frac{1}{x+n}=\frac{(x+n)-(x+n-1)}{(x+n-1)(x+n)}=\frac{1}{(x+n-1)(x+n)}.
Portanto a decomposição está correta e vale sempre que os denominadores existam (isto é, quando x\notin\{0,-1,-2,\dots\}).

Passo 3

Use a identidade no somatório para escrever a soma parcial até N:
S_N(x)=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(x+n-1)(x+n)}=\sum_{n=1}^{N}\Big(\frac{1}{x+n-1}-\frac{1}{x+n}\Big).
Agora escreva os primeiros termos para ver o cancelamento (telescópico):
\begin{aligned} n=1:&\quad \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1},\\\ n=2:&\quad \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2},\\\ n=3:&\quad \frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3},\\\ &\\ \\ \vdots\\\ n=N:&\quad \frac{1}{x+N-1}-\frac{1}{x+N}. \end{aligned}
Somando tudo, quase tudo cancela e sobra somente
S_N(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+N}.
Essa expressão é válida sempre que x\notin\{0,-1,-2,\dots\} (caso contrário algum termo intermediário não existe).

Passo 4

Agora tomamos o limite quando N\to\infty. Para x fixo e finito, x+N\to+\infty quando N\to\infty, logo
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{x+N}=0.
Portanto, para todo x para o qual a soma parcial foi bem definida,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(x+n)(x+n-1)}=\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Trate os casos excepcionais e comente sobre convergência absoluta:
  • Se x\in\{0,-1,-2,\dots\} a série não está definida (existe algum n tal que o denominador é zero), então não há convergência.
  • Para qualquer outro x real fixo a expressão dos somas parciais vale e a série converge (e o valor da soma é \dfrac{1}{x}).
  • Observação sobre convergência absoluta: para grandes n tem-se \dfrac{1}{(x+n)(x+n-1)}\sim \dfrac{1}{n^{2}}, portanto os termos são comparáveis a 1/n^{2} e a série converge absolutamente também para todo x onde está definida.

Resposta

\displaystyle \text{A série converge para todo }x\in\mathbb{R}\setminus\{0,-1,-2,-3,\dots\}.é

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