Para quais valores de
, a série
converge?
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede: para quais valores de
essa série converge?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Para que cada termo esteja definido é necessário que nenhum denominador seja zero, isto é, para todo
deve valer e . - Os valores de
que anulam um denominador para algum são e . Portanto os valores proibidos (onde a série não está nem definida) são
Passo 2
Vamos transformar o termo geral por frações parciais — isso frequentemente torna séries com fatores consecutivos telescópicas e fáceis de somar.
Mostrarei a identidade elementar usada:
Verificação direta (bastante didática): calcular a diferença
Portanto a decomposição está correta e vale sempre que os denominadores existam (isto é, quando
).
Passo 3
Use a identidade no somatório para escrever a soma parcial até
:
Agora escreva os primeiros termos para ver o cancelamento (telescópico):
Somando tudo, quase tudo cancela e sobra somente
Essa expressão é válida sempre que
(caso contrário algum termo intermediário não existe).
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. Para
fixo e finito,
quando
, logo
Portanto, para todo
para o qual a soma parcial foi bem definida,
Passo 5
Trate os casos excepcionais e comente sobre convergência absoluta:
- Se
a série não está definida (existe algum tal que o denominador é zero), então não há convergência. - Para qualquer outro
real fixo a expressão dos somas parciais vale e a série converge (e o valor da soma é ). - Observação sobre convergência absoluta: para grandes
tem-se , portanto os termos são comparáveis a e a série converge absolutamente também para todo onde está definida.