Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}}{n-4}-\frac{n^{2}}{n+7}\right);

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n^{2}}{n-4}-\frac{n^{2}}{n+7}\Bigr).
O conteúdo principal aqui é o critério do termo geral (ou critério da divergência): se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq0, então a série \sum a_{n} diverge.

Passo 2

Definimos
a_{n}=\frac{n^{2}}{n-4}-\frac{n^{2}}{n+7}
e escrevemos em um único quociente:
a_{n} =\frac{n^{2}(n+7)-n^{2}(n-4)}{(n-4)(n+7)} =\frac{n^{2}\bigl[(n+7)-(n-4)\bigr]}{(n-4)(n+7)} =\frac{11\,n^{2}}{(n-4)(n+7)}.

Passo 3

Para aplicar o critério do termo geral, calculamos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{11\,n^{2}}{n^{2}+3n-28} =11\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}\bigl(1+\frac{3}{n}-\frac{28}{n^{2}}\bigr)} =11.

Passo 4

Como
\lim_{n\to\infty}a_{n}=11\neq0,
pelo critério do termo geral, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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