Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{2 n}}{\ln (n)};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{2n}}{\ln(n)}
converge ou diverge. O conteúdo abordado é séries numéricas e usaremos um critério de convergência (Teste da Raiz n-ésima ou Teste da Razão).

Passo 2

Vamos aplicar o Teste da Raiz n-ésima, que diz: para a_n\ge0, calcule
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}.
Se L<1 a série converge, se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui a_n = \frac{e^{2n}}{\ln(n)}. Então
\sqrt[n]{a_n} = \frac{\sqrt[n]{e^{2n}}}{\sqrt[n]{\ln(n)}} = \frac{e^2}{\bigl(\ln(n)\bigr)^{1/n}}.
Como \lim_{n\to\infty}(\ln(n))^{1/n} = 1, temos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{e^2}{(\ln(n))^{1/n}} = e^2.

Passo 4

Note que e^2>1. Pelo Teste da Raiz n-ésima, como L>1, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados