Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{9 n+1}}{4^{n-4}};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{9n+1}}{4^{\,n-4}}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos; vamos usar o teste da raiz n-ésima (ou, alternativamente, o teste da razão).

Passo 2

Denotemos
a_n = \frac{n^{9n+1}}{4^{\,n-4}}.
Para aplicar o teste da raiz, precisamos calcular
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.

Passo 3

Compute-se a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n} =\frac{\sqrt[n]{n^{9n+1}}}{\sqrt[n]{4^{\,n-4}}} =\frac{n^{9 + \tfrac1n}}{4^{1 - \tfrac4n}} =\Bigl(\frac{n^9}{4}\Bigr)\;n^{1/n}\;4^{4/n}.
Quando n\to\infty temos n^{1/n}\to1 e 4^{4/n}\to1, mas \tfrac{n^9}{4}\to\infty. Logo
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = \infty.

Passo 4

Como L=\infty>1, o teste da raiz garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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