Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^{n+3}}{n^{3 n}};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^{n+3}}{n^{3n}}
converge ou diverge. Como o termo geral envolve potências em n tanto no numerador quanto no denominador, o critério da raiz de Cauchy (ou teste da raiz) é o mais indicado.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, calculando
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{7^{n+3}}{n^{3n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{7^{n+3}}}{\sqrt[n]{n^{3n}}}.
Agora,
\sqrt[n]{7^{n+3}} =7^{\frac{n+3}{n}} =7^{1+\frac{3}{n}} \longrightarrow 7 \quad\text{e}\quad \sqrt[n]{n^{3n}} =n^3.
Logo,
L =\lim_{n\to\infty}\frac{7^{1+\frac{3}{n}}}{n^3} =\lim_{n\to\infty}\frac{7\cdot7^{3/n}}{n^3} =\frac{7\cdot1}{\infty} =0.

Passo 3

Como obtivemos L=0 e 0<1, pelo critério da raiz a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo critério da raiz).

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