Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Razão. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
sumn=1^infty 4^n n!n!(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty 4^n,(n!)^2(2n)!
usando o Teste da Razão, isto é, calcular
L = limntoinfty |an+1an|
onde an = 4^n(n!)^2(2n)!.

Passo 2

Escrevemos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 4^n+1,((n+1)!)^2/(2n+2)!4^n,(n!)^2/(2n)!

Passo 3

Agora simplificamos fator a fator:
an+1an =4;((n+1)!)^2(n!)^2;(2n)!(2n+2)! =4;(n+1)^2;1(2n+2)(2n+1)
Como 2n+2=2(n+1), isso fica
an+1an =4;(n+1)^2;12(n+1)(2n+1) =2;n+12n+1

Passo 4

Tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty2;n+12n+1 =2;12 =1

Passo 5

Como L=1, o Teste da Razão é inconclusivo.

Resposta

O Teste da Razão não permite concluir sobre a convergência da série (inconclusivo).

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