[Seção 7.1] Use integração por partes para demonstrar as fórmulas de redução.
[51] integral ln (x)^n d x=x ln (x)^n-n integral ln (x)^n-1 d x
[52] integral x^n e^x d x=x^n e^x-n integral x^n-1 e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar duas fórmulas de redução usando a técnica de integração por partes. Vamos recordar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e, para cada caso, escolher funções u e dv que simplifiquem a integral original.

Passo 2

Derivando integral ln(x)^n,dx.
Escolhemos
u = ln(x)^n, dv = dx
Então
du = n,ln(x)^n-1,1x,dx, v = x
Aplicando integração por partes:
integral ln(x)^n,dx = u,v - integral v,du = x,ln(x)^n - integral xcdot l(n,ln(x)^n-1,tfrac1xr),dx = x,ln(x)^n - n integral ln(x)^n-1,dx

Passo 3

Derivando integral x^ne^x,dx.
Escolhemos
u = x^n, dv = e^x,dx
Então
du = n,x^n-1,dx, v = e^x
Aplicando integração por partes:
integral x^ne^x,dx = u,v - integral v,du = x^ne^x - integral e^xcdotl(n,x^n-1r),dx = x^ne^x - n integral x^n-1e^x,dx

Resposta

integral ln(x)^n,dx = x,ln(x)^n - n integral ln(x)^n-1,dx
integral x^ne^x,dx = x^ne^x - n integral x^n-1e^x,dx

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