Verifique o teorema de Green nos seguintes casos:
\mathbf{F}(x, y)=\left(y e^{x}\right) \mathbf{i}+\left(x e^{y}\right) \mathbf{j} e
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid-1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\right\} .

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para o campo \mathbf{F}(x,y) = (P,Q) = \bigl(y e^{x},\,x e^{y}\bigr)
sobre o retângulo
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
Segundo Green, deve valer
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde C=\partial R é percorrido no sentido anti-horário.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais que aparecem no integrando da integral dupla:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{y}\bigr) =e^{y},
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{x}\bigr) =e^{x}.
Logo o rotacional em duas dimensões é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =e^{y}-e^{x}.

Passo 3

Agora integramos esse rotacional sobre R:
\iint_{R}(e^{y}-e^{x})\,dA =\int_{x=-1}^{1}\!\int_{y=0}^{1}\bigl(e^{y}-e^{x}\bigr)\,dy\,dx.
No interior,
\int_{0}^{1}e^{y}\,dy = e-1, \qquad \int_{0}^{1}e^{x}\,dy = e^{x}\cdot1 = e^{x}.
Assim a integral em y
\int_{0}^{1}(e^{y}-e^{x})\,dy =(e-1)-e^{x}.
Depois em x:
\int_{-1}^{1}\bigl((e-1)-e^{x}\bigr)\,dx =(e-1)\cdot2 -\bigl[e^{x}\bigr]_{-1}^{1} =2(e-1)-(e-e^{-1}) =e+e^{-1}-2.

Passo 4

Vamos calcular a integral de linha \oint_{C}P\,dx+Q\,dy percorrendo C positivamente em quatro trechos.
1. Trecho C_{1}: de (-1,0) a (1,0), onde y=0, dy=0, P=0.
\int_{C_{1}}P\,dx+Q\,dy =\int_{x=-1}^{1}0\,dx =0.
2. Trecho C_{2}: de (1,0) a (1,1), onde x=1, dx=0, Q=e^{y}.
\int_{C_{2}}P\,dx+Q\,dy =\int_{y=0}^{1}e^{y}\,dy =e-1.
3. Trecho C_{3}: de (1,1) a (-1,1), onde y=1, dy=0, P=e^{x}.
\int_{C_{3}}P\,dx+Q\,dy =\int_{x=1}^{-1}e^{x}\,dx =-\int_{-1}^{1}e^{x}\,dx =-(e-e^{-1}) =e^{-1}-e.
4. Trecho C_{4}: de (-1,1) a (-1,0), onde x=-1, dx=0, Q=-e^{y}.
\int_{C_{4}}P\,dx+Q\,dy =\int_{y=1}^{0}(-e^{y})\,dy =e-1.
Somando os quatro trechos,
0 + (e-1) + (e^{-1}-e) + (e-1) = e + e^{-1} -2.

Passo 5

Comparando os resultados, tanto a integral dupla quanto a integral de linha valem
e + e^{-1} - 2,
confirmando o Teorema de Green neste caso.

Resposta

As duas integrais coincidem e valem e + e^{-1} - 2, verificando o Teorema de Green.

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