Verifique o teorema de Green nos seguintes casos:
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para o campo
sobre o retângulo
sobre o retângulo
Segundo Green, deve valer
onde
é percorrido no sentido anti-horário.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais que aparecem no integrando da integral dupla:
Logo o rotacional em duas dimensões é
Passo 3
Agora integramos esse rotacional sobre
:
No interior,
Assim a integral em
dá
Depois em
:
Passo 4
Vamos calcular a integral de linha
percorrendo
positivamente em quatro trechos.
1. Trecho
: de
a
, onde
,
,
.
2. Trecho
: de
a
, onde
,
,
.
3. Trecho
: de
a
, onde
,
,
.
4. Trecho
: de
a
, onde
,
,
.
Somando os quatro trechos,
Passo 5
Comparando os resultados, tanto a integral dupla quanto a integral de linha valem
confirmando o Teorema de Green neste caso.
Resposta
As duas integrais coincidem e valem
, verificando o Teorema de Green.