Verifique o teorema de Green nos seguintes casos:
, e
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para o campo de vetor
no triângulo
de vértices
,
e
. Segundo o Teorema de Green, devemos comparar
a integral de linha
a integral de linha
ao redor da fronteira
orientada positivamente
com a integral dupla
com a integral dupla
Aqui
e
.
Passo 2
Calculamos o “rotacional” em 2D:
logo
Para a integral dupla, usamos coordenadas cartesianas com
e
(triângulo abaixo da reta
).
Passo 3
Montamos a integral dupla:
Passo 4
Agora calculamos a integral de linha
quebrada em três segmentos orientados no sentido anti-horário.
quebrada em três segmentos
Passo 5
Segmento
em
. Aqui
e
,
então
então
Passo 6
Segmento
em
. Temos
e
, com
,
de
a
:
Passo 7
Segmento
sobre a reta
. Parametrizamos por
, daí
. Então
Passo 8
Somando as três partes da integral de linha:
Resposta
A integral dupla de
sobre
dá
,
e a integral de linha de ao redor de
também dá
.
Logo o Teorema de Green se verifica.
e a integral de linha de
Logo o Teorema de Green se verifica.