Verifique o teorema de Green nos seguintes casos:
\mathbf{F}(x, y)=x^{2} y \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}, e R é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para o campo de vetor
\mathbf{F}(x,y) = x^{2}y\,\mathbf{i} + y^{2}\,\mathbf{j}
no triângulo R de vértices (0,0), (1,0) e (1,1). Segundo o Teorema de Green, devemos comparar
a integral de linha
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy
ao redor da fronteira C=\partial R orientada positivamente
com a integral dupla
\iint_{R}\biggl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\biggr)\,dA.
Aqui P(x,y)=x^{2}y e Q(x,y)=y^{2}.

Passo 2

Calculamos o “rotacional” em 2D:
\frac{\partial Q}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = x^{2},
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -x^{2}.
Para a integral dupla, usamos coordenadas cartesianas com 0\le x\le1 e 0\le y\le x (triângulo abaixo da reta y=x).

Passo 3

Montamos a integral dupla:
\iint_{R}(-x^{2})\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x}(-x^{2})\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\bigl(-x^{2}\cdot x\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}(-x^{3})\,dx = -\frac{1}{4}.

Passo 4

Agora calculamos a integral de linha \oint_{C}P\,dx+Q\,dy
quebrada em três segmentos C_{1},C_{2},C_{3} orientados no sentido anti-horário.

Passo 5

Segmento C_{1}\colon (0,0)\to(1,0) em y=0. Aqui P=x^{2}\cdot0=0 e Q=0,
então
\int_{C_{1}}P\,dx+Q\,dy = 0.

Passo 6

Segmento C_{2}\colon (1,0)\to(1,1) em x=1. Temos P=y e Q=y^{2}, com dx=0, dy de 0 a 1:
\int_{C_{2}}P\,dx+Q\,dy = \int_{0}^{1}y^{2}\,dy = \frac{1}{3}.

Passo 7

Segmento C_{3}\colon (1,1)\to(0,0) sobre a reta y=x. Parametrizamos por \,x=1-t,\;y=1-t,\;t:0\to1, daí dx=dy=-dt. Então
P=(1-t)^{3},\quad Q=(1-t)^{2},
\int_{C_{3}}P\,dx+Q\,dy = \int_{0}^{1}\bigl[(1-t)^{3}(-dt)+(1-t)^{2}(-dt)\bigr] = -\int_{0}^{1}\bigl((1-t)^{3}+(1-t)^{2}\bigr)\,dt = -\Bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{3}\Bigr) = -\frac{7}{12}.

Passo 8

Somando as três partes da integral de linha:
0 + \frac{1}{3} - \frac{7}{12} = \frac{4}{12} - \frac{7}{12} = -\frac{1}{4}.

Resposta

A integral dupla de \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} sobre R -\tfrac14,
e a integral de linha de P\,dx+Q\,dy ao redor de \partial R também dá -\tfrac14.
Logo o Teorema de Green se verifica.

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