Verifique se
(isto é, se o Teorema de Clairaut é válido).
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as derivadas mistas
e
coincidem no caso de
Isso envolve calcular primeiro
e
, depois derivar cada uma em relação à outra variável, e por fim comparar os resultados (Teorema de Clairaut exige contínua segunda derivada).
Passo 2
Calcular
aplicando regra do produto em
Passo 3
Calcular
. Como
temos
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Somando,
Passo 4
Calcular
de
Passo 5
Calcular
. Como
temos
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Somando,
Passo 6
Comparando os dois resultados:
concluímos que
.
Resposta
As derivadas mistas coincidem e, portanto, o Teorema de Clairaut é válido para
.