Verifique se u_{x y}=u_{y x} (isto é, se o Teorema de Clairaut é válido).
u=x y e^{x y}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as derivadas mistas \displaystyle u_{xy} e \displaystyle u_{yx} coincidem no caso de
u(x,y)=x\,y\,e^{x y}.
Isso envolve calcular primeiro u_x e u_y, depois derivar cada uma em relação à outra variável, e por fim comparar os resultados (Teorema de Clairaut exige contínua segunda derivada).

Passo 2

Calcular \displaystyle u_x aplicando regra do produto em
u = x\,y\,e^{x y}.
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y\bigr)\,e^{x y} + x\,y\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x y}\bigr) = y\,e^{x y} + x\,y\,(y\,e^{x y}) = y\,e^{x y}\,(1 + x y).

Passo 3

Calcular \displaystyle u_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(u_x). Como
u_x = y\,e^{x y} + x\,y^2\,e^{x y},
temos
u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{x y}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^2\,e^{x y}\bigr).
Para o primeiro termo:
\frac{\partial}{\partial y}(y\,e^{x y}) = e^{x y} + y\,(x\,e^{x y}) = e^{x y} + x\,y\,e^{x y}.
Para o segundo termo:
\frac{\partial}{\partial y}(x\,y^2\,e^{x y}) = x\,(2y\,e^{x y}) + x\,y^2\,(x\,e^{x y}) = 2x\,y\,e^{x y} + x^2\,y^2\,e^{x y}.
Somando,
u_{xy} = e^{x y} + x\,y\,e^{x y} + 2x\,y\,e^{x y} + x^2\,y^2\,e^{x y} = e^{x y}\bigl(1 + 3x y + x^2 y^2\bigr).

Passo 4

Calcular \displaystyle u_y de
u = x\,y\,e^{x y}.
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y\bigr)\,e^{x y} + x\,y\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x y}\bigr) = x\,e^{x y} + x\,y\,(x\,e^{x y}) = x\,e^{x y}\,(1 + x y).

Passo 5

Calcular \displaystyle u_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(u_y). Como
u_y = x\,e^{x y} + x^2\,y\,e^{x y},
temos
u_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{x y}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2\,y\,e^{x y}\bigr).
Para o primeiro termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x\,e^{x y}) = e^{x y} + x\,(y\,e^{x y}) = e^{x y} + x\,y\,e^{x y}.
Para o segundo termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x^2\,y\,e^{x y}) = y\,(2x\,e^{x y}) + x^2\,y\,(y\,e^{x y}) = 2x\,y\,e^{x y} + x^2\,y^2\,e^{x y}.
Somando,
u_{yx} = e^{x y} + x\,y\,e^{x y} + 2x\,y\,e^{x y} + x^2\,y^2\,e^{x y} = e^{x y}\bigl(1 + 3x y + x^2 y^2\bigr).

Passo 6

Comparando os dois resultados:
u_{xy} = e^{x y}\bigl(1 + 3x y + x^2 y^2\bigr) \quad\text{e}\quad u_{yx} = e^{x y}\bigl(1 + 3x y + x^2 y^2\bigr),
concluímos que \displaystyle u_{xy}=u_{yx}.

Resposta

As derivadas mistas coincidem e, portanto, o Teorema de Clairaut é válido para u(x,y)=x\,y\,e^{x y}.

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