Verifique se u_{x y}=u_{y x} (isto é, se o Teorema de Clairaut é válido).
u=\ln \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as derivadas parciais mistas de
u=\ln\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}\bigr)
são iguais, ou seja, se \;u_{xy}=u_{yx}. O conteúdo é aplicação direta do Teorema de Clairaut, que garante igualdade sempre que u for de classe C^2. Para confirmar, vamos calcular explicitamente u_x, u_{xy}, u_y e u_{yx}.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
u=\tfrac12\ln\bigl(x^2+y^2+1\bigr).
Derivando em relação a x usando a regra da cadeia, obtemos
u_x = \frac12 \cdot \frac{1}{x^2+y^2+1}\cdot 2x = \frac{x}{x^2+y^2+1}.
Agora derivamos u_x em relação a y:
u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{x^2+y^2+1}\Bigr) = x\cdot\Bigl(-1\Bigr)\frac{2y}{(x^2+y^2+1)^2} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2+1)^2}.

Passo 3

De modo análogo, derivamos u em relação a y:
u_y = \frac12 \cdot \frac{1}{x^2+y^2+1}\cdot 2y = \frac{y}{x^2+y^2+1}.
Em seguida derivamos u_y em relação a x:
u_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{y}{x^2+y^2+1}\Bigr) = y\cdot\Bigl(-1\Bigr)\frac{2x}{(x^2+y^2+1)^2} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2+1)^2}.

Passo 4

Como encontramos
u_{xy}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2+1)^2} \quad\text{e}\quad u_{yx}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2+1)^2},
vemos que u_{xy}=u_{yx}. Portanto, o Teorema de Clairaut é válido para esta função.

Resposta

As derivadas mistas coincidem:
u_{xy}=u_{yx}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2+1)^2}.

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