Verifique se
(isto é, se o Teorema de Clairaut é válido).
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as derivadas parciais mistas de
são iguais, ou seja, se
. O conteúdo é aplicação direta do Teorema de Clairaut, que garante igualdade sempre que
for de classe
. Para confirmar, vamos calcular explicitamente
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
Derivando em relação a
usando a regra da cadeia, obtemos
Agora derivamos
em relação a
:
Passo 3
De modo análogo, derivamos
em relação a
:
Em seguida derivamos
em relação a
:
Passo 4
Como encontramos
vemos que
. Portanto, o Teorema de Clairaut é válido para esta função.
Resposta
As derivadas mistas coincidem: