Verifique a validade do teorema de Stokes para a região delimitada pela intersecção do plano
com os planos coordenados, considerando o campo de velocidades
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos o Teorema de Stokes para a superfície
dada pela porção do plano
contida no primeiro octante (ou seja, limitada pelos planos coordenados
,
,
). O campo de velocidades é
As perguntas implícitas são:
- Calcular a integral de superfície
. - Calcular a integral de linha
ao longo da fronteira com orientação compatível. - Comparar os dois valores e concluir se o Teorema de Stokes é válido nesse caso.
Informações relevantes dadas:
- A superfície
é a parte do plano no primeiro octante. Dos interceptos com os eixos, obtemos os vértices da região triangular: - O campo
está explicitamente dado.
A partir daqui vamos calcular passo a passo as duas integrais e mostrar que são iguais.
Passo 2
Calculando o rotacional
. Vou primeiro escrever a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas: para
,
Aqui
,
,
. Calculemos cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
pois
e
não dependem de
e
respectivamente na forma que produza derivadas não nulas. Portanto
Passo 3
Escolhendo a orientação da superfície e escrevendo o elemento de área vetorial. É conveniente parametrizar
como gráfico
. Da equação do plano,
Para superfícies do tipo
com orientação “para cima” (vetor normal com componente
), o vetor elemento de área é
onde
é o elemento de área no plano
. Calculemos as derivadas parciais:
Logo
Observação rápida: este vetor é paralelo ao normal do plano
(de fato
), então é consistente com a normal escolhida apontando para a região do primeiro octante (com componente
).
Passo 4
Montando o integrando para a integral de superfície. Queremos
onde
é a projeção de
no plano
. Substituindo
,
Portanto precisamos avaliar
Passo 5
Descrevendo a região
(projeção no plano
). A superfície triangular tem vértices
,
,
. Projetando em
obtemos o triângulo com vértices
. A reta que une
e
tem equação
Assim
é a região
Agora integramos em ordem
.
Passo 6
Calculando a integral dupla passo a passo:
Primeiro a integral interna em
:
Calcule cada termo:
e
Subtraindo,
Agora integramos em
:
Avalie em
:
Somando:
, então
Portanto
Passo 7
Agora calculamos a integral de linha
. Precisamos escolher a orientação da curva
compatível com a orientação da superfície. Como escolhemos
com componente
(orientação para cima), a orientação de
é dada pela regra da mão direita: vista do lado de cima (eixo
positivo), a curva deve ser percorrida no sentido anti-horário. Projetando em
, isso corresponde ao percurso
. Vamos dividir em três arestas e parametrizá-las nessa ordem.
Passo 8
Integral de linha em cada aresta.
- Aresta
(fica em , do ponto a ). Parâmetro :
No caminho
, o campo é
com
implicando
. Então
O produto escalar que entra na integral é
Integrando,
Logo contribuição da aresta
é
.
- Aresta
(fica em , de a ). Parâmetro :
Com
temos
. Portanto
Produto escalar:
Integrando:
Contribuição da aresta
é
.
- Aresta
(fica em , de a ). Parâmetro :
Com
temos
. Assim
Vou calcular com calma:
,
então
. Portanto
. O produto escalar com
é
Integrando:
Contribuição da aresta
é
.
Somando as três contribuições:
Passo 9
Comparando os resultados: a integral de superfície deu
e a integral de linha ao longo da fronteira (com orientação compatível) também deu
. Portanto o Teorema de Stokes é válido para a região dada e para o campo
— as duas integrais coincidem e têm valor
.