Verifique o valor para o qual as séries abaixo convergem indicando o critério usado:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)(k+2)},
que é um caso clássico de série telescópica. Para resolver, vamos decompor o termo geral em frações parciais e somar os termos até n, obtendo uma expressão que “telescopa”.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de \displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}. Pode-se verificar (ou calcular por métodos padrões) que
\frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\Bigr).

Passo 3

Somamos os primeiros n termos usando a forma telescópica:
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\Bigr).
Ao expandir, quase tudo se cancela, sobrando apenas
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr) =\frac{1}{4}-\frac{1}{2\,(n+1)(n+2)}.

Passo 4

Fazendo n\to\infty, o termo \frac{1}{2\,(n+1)(n+2)}\to0. Logo a soma da série é
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{4}.
O critério usado foi o da série telescópica.

Resposta

A série converge para \tfrac{1}{4} pelo critério de série telescópica.

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