Verifique o valor para o qual as séries abaixo convergem indicando o critério usado:
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência e encontrar o valor da série
\sum_{n=3}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\Bigr).
Esse tipo de série é do tipo telescópico, pois ao escrever a soma parcial muitos termos se cancelam. Vamos usar o critério de série telescópica, construindo a soma parcial e observando os cancelamentos.

Passo 2

Definimos a soma parcial até um certo N\ge3:
S_{N} \;=\;\sum_{n=3}^{N}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\Bigr).

Passo 3

Expansão de S_N mostrando o cancelamento:
\begin{aligned} S_{N} &=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}-\tfrac{1}{\sqrt{4}}\bigr) +\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{4}}-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\bigr) +\cdots +\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{N}}-\tfrac{1}{\sqrt{N+1}}\bigr)\\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}} \;-\;\frac{1}{\sqrt{N+1}}, \end{aligned}
pois todos os termos intermediários \tfrac{1}{\sqrt{4}},\tfrac{1}{\sqrt{5}},\dots,\tfrac{1}{\sqrt{N}} se cancelam.

Passo 4

Para concluir, tomamos o limite de S_{N} quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\Bigr) =\frac{1}{\sqrt{3}}-0 =\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Assim, pelo critério de série telescópica, a série converge e seu valor é \tfrac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

A série converge por critério telescópico e
\sum_{n=3}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\Bigr) =\frac{1}{\sqrt{3}}.

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