Verifique o valor para o qual as séries abaixo convergem indicando o critério usado:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência e obter o valor da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}.
O conteúdo é séries numéricas e vamos precisar de um critério de soma telescópica.

Passo 2

Observamos que podemos decompor o termo geral como diferença de frações simples. Vamos testar
\frac{1}{k^{2}}-\frac{1}{(k+1)^{2}} \;=\; \frac{(k+1)^{2}-k^{2}}{k^{2}(k+1)^{2}} \;=\; \frac{2k+1}{k^{2}(k+1)^{2}},
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\frac{2k+1}{k^{2}(k+1)^{2}} =\frac{1}{k^{2}}-\frac{1}{(k+1)^{2}}.

Passo 3

Com essa decomposição, o somatório parcial até n fica
S_{n} \;=\;\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{k^{2}}-\frac{1}{(k+1)^{2}}\Bigr).
Por telescoping, quase tudo se cancela:
S_{n} = \Bigl(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\Bigr) + \Bigl(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\Bigr) + \cdots + \Bigl(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\Bigr) =1 - \frac{1}{(n+1)^{2}}.

Passo 4

Para concluir a soma da série, tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{(n+1)^{2}}\Bigr) =1.
Assim, a série converge e seu valor é 1. O critério usado foi o de soma telescópica.

Resposta

A série converge e seu valor é 1, obtido pelo critério telescópico.

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