Construa séries telescópicas de modo que sua correspondente sequência de somas parciais(ou reduzidas) S_{n}, seja dada pelas expressões abaixo:
S_{n}=\frac{n^{2}}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma série telescópica cujas somas parciais
S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k
satisfazem
S_n=\frac{n^2}{n+1}\,.
O conteúdo é “séries telescópicas”: basta usar que, em geral,
a_n=S_n-S_{n-1}\quad(n\ge1),\quad S_0=0.

Passo 2

Vamos então calcular
a_n=S_n-S_{n-1} =\frac{n^2}{n+1}-\frac{(n-1)^2}{n}\,.

Passo 3

Simplificando essa diferença em um único quociente:
\frac{n^2}{n+1}-\frac{(n-1)^2}{n} =\frac{n^3-(n-1)^2(n+1)}{n(n+1)} =\frac{n^2+n-1}{n(n+1)}.

Passo 4

Agora decompomos em frações simples para revelar o telescópio. Observe que
\frac{n^2+n-1}{n(n+1)} =1-\frac{1}{n(n+1)} =1-\Bigl(\frac1n-\frac1{n+1}\Bigr) =1+\frac1{n+1}-\frac1n.
Portanto
a_n=1+\frac1{n+1}-\frac1n.

Passo 5

A série fica
\sum_{k=1}^{n}a_k =\sum_{k=1}^{n}\Bigl(1+\frac1{k+1}-\frac1{k}\Bigr).
Ao expandir, o termo -\frac1{k} anula o \frac1{k} do passo anterior, restando
S_n =n-1+\frac1{n+1} =\frac{n^2}{n+1},
como desejado.

Resposta

Uma escolha de série telescópica é
\sum_{k=1}^{n}\Bigl(1+\frac1{k+1}-\frac1{k}\Bigr),
cuja soma parcial é \displaystyle S_n=\frac{n^2}{n+1}.

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