Dê um exemplo de subconjunto de
que não seja subespaço vetorial e explique qual axioma falha.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Fornecer um exemplo de subconjunto de
que NÃO seja um subespaço vetorial. - Explicar qual axioma (ou propriedade) dos subespaços vetoriais falha para esse exemplo.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- O universo é
. - Um subconjunto é qualquer coleção de vetores de
. - Um subespaço vetorial deve satisfazer certos axiomas (que vamos listar e usar).
Passo 2
Lembrete didático: o que é preciso checar para decidir se um subconjunto
é subespaço?
Existe uma forma curta e prática: é subespaço se, e somente se,
Existe uma forma curta e prática:
-
é não vazio (equivalente: contém o vetor zero )), -
é fechado sob adição: se então , -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Explicando cada ponto rapidinho:
- “Contém o vetor zero” significa que o vetor
) precisa pertencer a
. É fundamental porque qualquer espaço vetorial tem o vetor zero. - “Fechado sob adição” significa que somar dois vetores de
dá outro vetor que também está em . - “Fechado sob multiplicação por escalar” significa que multiplicar um vetor de
por qualquer número real não tira o vetor de .
Observação prática: se o conjunto falha em qualquer um desses três, não é subespaço. Às vezes é mais fácil testar se o vetor zero está no conjunto: se não estiver, já terminou.
Passo 3
Vou escolher um exemplo simples e geométrico, fácil de visualizar e de provar que não é subespaço.
Defino
Este é o plano paralelo ao plano
(o plano
), deslocado até
. Em palavras: todos os vetores de
cujo primeiro componente vale exatamente
.
Primeiro verifico que
é mesmo subconjunto de
: cada elemento tem três coordenadas reais, com a primeira igual a
, então está em
.
Passo 4
Agora testo o axioma mais fácil: presença do vetor zero.
O vetor zero em
é
Para que
pertença a
seria necessário que a primeira coordenada de
fosse
. Mas a primeira coordenada de
é
. Logo
Concluo:
não contém o vetor zero, portanto falha no axioma “contém o vetor zero”. Por isso
não pode ser um subespaço vetorial.
Passo 5
Quero explicar por que essa falha é suficiente (e intuitiva). Suponha, para ver o que aconteceria se
fosse subespaço. Então, para qualquer
e qualquer escalar
, deveria valer
. Em particular, tomando
e qualquer
, obteríamos
. Assim, se
é não vazio e fechado por multiplicação escalar, automaticamente o vetor zero tem que estar em
. Nosso
não tem
, logo não pode obedecer a essa propriedade fundamental de subespaços. Portanto a falta do vetor zero quebra a propriedade de fechamento por multiplicação escalar também (quando
é não vazio).
Passo 6
Para reforçar a intuição, dou mais dois exemplos rápidos (sem desenvolver demais):
- Exemplo 2 (falha por adição):
. Se pegar dois vetores em e somá-los, a soma pode ter primeira + segunda coordenadas somando , então a soma sai de . Portanto falha na fechadura por adição. - Exemplo 3 (falha por multiplicação por escalar):
(o octante positivo). Esse conjunto contém e é fechado por soma, mas não é fechado por multiplicação por escalar porque multiplicar por envia vetores para o octante negativo; logo falha na fechadura por escalares.