Dê um exemplo de subconjunto de \mathbb{R}^{3} que não seja subespaço vetorial e explique qual axioma falha.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Fornecer um exemplo de subconjunto de \mathbb{R}^{3} que NÃO seja um subespaço vetorial.
  • Explicar qual axioma (ou propriedade) dos subespaços vetoriais falha para esse exemplo.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • O universo é \mathbb{R}^{3}.
  • Um subconjunto é qualquer coleção de vetores de \mathbb{R}^{3}.
  • Um subespaço vetorial deve satisfazer certos axiomas (que vamos listar e usar).

Passo 2

Lembrete didático: o que é preciso checar para decidir se um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço?
Existe uma forma curta e prática: S é subespaço se, e somente se,
  1. S é não vazio (equivalente: contém o vetor zero \(0,0,0)),
  2. S é fechado sob adição: se u,v\in S então u+v\in S,
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in S.
Explicando cada ponto rapidinho:
  • “Contém o vetor zero” significa que o vetor \(0,0,0) precisa pertencer a S. É fundamental porque qualquer espaço vetorial tem o vetor zero.
  • “Fechado sob adição” significa que somar dois vetores de S dá outro vetor que também está em S.
  • “Fechado sob multiplicação por escalar” significa que multiplicar um vetor de S por qualquer número real não tira o vetor de S.
Observação prática: se o conjunto falha em qualquer um desses três, não é subespaço. Às vezes é mais fácil testar se o vetor zero está no conjunto: se não estiver, já terminou.

Passo 3

Vou escolher um exemplo simples e geométrico, fácil de visualizar e de provar que não é subespaço.
Defino
S=\{(1,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y\in\mathbb{R},\\ z\in\mathbb{R}\}.
Este é o plano paralelo ao plano x=0 (o plano yz), deslocado até x=1. Em palavras: todos os vetores de \mathbb{R}^3 cujo primeiro componente vale exatamente 1.
Primeiro verifico que S é mesmo subconjunto de \mathbb{R}^{3}: cada elemento tem três coordenadas reais, com a primeira igual a \,1, então está em \mathbb{R}^{3}.

Passo 4

Agora testo o axioma mais fácil: presença do vetor zero.
O vetor zero em \mathbb{R}^{3} é
\mathbf{0}=(0,0,0).
Para que \mathbf{0} pertença a S seria necessário que a primeira coordenada de \mathbf{0} fosse \,1. Mas a primeira coordenada de \mathbf{0} é \,0. Logo
\mathbf{0}=(0,0,0)\notin S.
Concluo: S não contém o vetor zero, portanto falha no axioma “contém o vetor zero”. Por isso S não pode ser um subespaço vetorial.

Passo 5

Quero explicar por que essa falha é suficiente (e intuitiva). Suponha, para ver o que aconteceria se S fosse subespaço. Então, para qualquer v\in S e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, deveria valer \alpha v\in S. Em particular, tomando \alpha=0 e qualquer v\in S, obteríamos 0\cdot v=\mathbf{0}\in S. Assim, se S é não vazio e fechado por multiplicação escalar, automaticamente o vetor zero tem que estar em S. Nosso S não tem \mathbf{0}, logo não pode obedecer a essa propriedade fundamental de subespaços. Portanto a falta do vetor zero quebra a propriedade de fechamento por multiplicação escalar também (quando S é não vazio).

Passo 6

Para reforçar a intuição, dou mais dois exemplos rápidos (sem desenvolver demais):
  • Exemplo 2 (falha por adição): T=\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^3\mid x+y=1\}. Se pegar dois vetores em T e somá-los, a soma pode ter primeira + segunda coordenadas somando 2, então a soma sai de T. Portanto T falha na fechadura por adição.
  • Exemplo 3 (falha por multiplicação por escalar): U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x\ge 0,\\ y\ge 0,\\ z\ge 0\} (o octante positivo). Esse conjunto contém \mathbf{0} e é fechado por soma, mas não é fechado por multiplicação por escalar porque multiplicar por -1 envia vetores para o octante negativo; logo falha na fechadura por escalares.

Resposta

\displaystyle S=\{(1,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y,z\in\mathbb{R}\} — não é subespaço vetorial porque (0,0,0)\notin S; falha do axioma “contém o vetor zero” (logo também falha a fechar por multiplicação por escalar).

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