Verifique que o vetor dado satisfaz a equação diferencial dada.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 2 & -1 \\\\ 3 & -2 \end{array}\right) \mathbf{x}+\binom{1}{-1} e^{t}, \quad \mathbf{x}=\binom{(1+2 t) e^{t}}{2 t e^{t}}=\binom{1}{0} e^{t}+2\binom{1}{1} t e^{t}

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se o vetor solução candidato
\mathbf{x}(t)=\binom{(1+2t)e^{t}}{2t e^{t}}=\binom{1}{0}e^{t}+2\binom{1}{1}t e^{t}
satisfaz a equação diferencial não-homogênea
\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix}\mathbf{x}+\binom{1}{-1}e^{t}.
As informações relevantes que temos são: a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix},
o termo-forçamento \;\binom{1}{-1}e^{t}, e o candidato \mathbf{x}(t) escrito acima. A verificação consiste em calcular \mathbf{x}'(t) e comparar com A\mathbf{x}(t)+\binom{1}{-1}e^{t}.]

Passo 2

Primeiro simplifico a escrita factorando e^{t}. Escrevo
\mathbf{x}(t)=e^{t}\binom{1+2t}{2t}.
Isto é útil porque a derivada de e^{t} é e^{t} e podemos aplicar a regra do produto (para escalar por vetores).

Passo 3

Vou calcular \mathbf{x}'(t) usando a regra do produto. Se u(t)=e^{t} e v(t)=\binom{1+2t}{2t}, então (uv)'=u'v+uv'. Aqui u'(t)=e^{t} e
v'(t)=\binom{(1+2t)'}{(2t)'}=\binom{2}{2}.
Logo
\mathbf{x}'(t)=e^{t}\binom{1+2t}{2t}+e^{t}\binom{2}{2}=e^{t}\binom{(1+2t)+2}{2t+2}=e^{t}\binom{3+2t}{2+2t}.
Detalhando por componentes: a primeira componente é ((1+2t)e^{t})'=(1+2t)e^{t}+2e^{t}=(3+2t)e^{t} e a segunda é (2t e^{t})'=(2t)e^{t}+2e^{t}=(2+2t)e^{t}, que coincide com o vetor acima.

Passo 4

Agora calculo A\mathbf{x}(t). Como \mathbf{x}(t)=e^{t}\binom{1+2t}{2t}, tenho
A\mathbf{x}(t)=e^{t}\,A\binom{1+2t}{2t}.
Faço a multiplicação da matriz pela coluna:
A\binom{1+2t}{2t}= \binom{2(1+2t)-1\cdot(2t)}{3(1+2t)-2\cdot(2t)} =\binom{2+4t-2t}{3+6t-4t}=\binom{2+2t}{3+2t}.
Portanto
A\mathbf{x}(t)=e^{t}\binom{2+2t}{3+2t}.

Passo 5

Adiciono o termo-forçamento \binom{1}{-1}e^{t}:
A\mathbf{x}(t)+\binom{1}{-1}e^{t}=e^{t}\binom{2+2t}{3+2t}+e^{t}\binom{1}{-1}=e^{t}\binom{(2+2t)+1}{(3+2t)-1}.
Isso dá
A\mathbf{x}(t)+\binom{1}{-1}e^{t}=e^{t}\binom{3+2t}{2+2t}.

Passo 6

Comparando o que encontramos:
\mathbf{x}'(t)=e^{t}\binom{3+2t}{2+2t}
e
A\mathbf{x}(t)+\binom{1}{-1}e^{t}=e^{t}\binom{3+2t}{2+2t}.
Como os dois lados são iguais para todo t, concluímos que o vetor dado satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Sim. \mathbf{x}'(t)=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix}\mathbf{x}(t)+\binom{1}{-1}e^{t} para todo t.]

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