Questão 8. Considere
Indique a alternativa CORRETA.
Passo 1
O enunciado dá a função
e informa que
Pede para indicar qual das alternativas com séries de potências é CORRETA, cada uma afirmando uma expressão do tipo
As informações relevantes que temos: a igualdade entre
e a derivada de
e que todas as séries são consideradas para
. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Vamos recordar a série geométrica básica e como usá-la. A fórmula é:
Explicando devagar: essa identidade diz que, quando o número
tem valor absoluto menor que
, a soma infinita dos potências
converge exatamente para
. Aqui
é uma variável qualquer (pode ser um número, pode ser uma expressão em
). Essa série é a base para gerar séries de potências por substituição.
Passo 3
Aplicamos a fórmula da série geométrica com a substituição
Substituindo em
obtemos:
Desenvolvendo a potência, isso é
Aqui expliquei por que aparece o fator
: porque
. Note que o somatório começa em
.
Passo 4
Agora vamos derivar ambos os lados em relação a
. Justificação curta: uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo dentro do raio de convergência (aqui o raio é
), então para
podemos diferenciar a série obtida. A derivada do lado esquerdo é justamente a função
dada:
Derivando o lado direito termo a termo:
E a derivada de
é
. Portanto
Passo 5
Observe o termo
na soma anterior: quando
temos
. Logo esse primeiro termo é nulo e podemos começar a soma em
sem alterar o valor:
Passo 6
Fazendo uma checagem rápida dos primeiros termos para ver se bate com a forma explícita de
: colocando
na soma obtemos
Se expandirmos
em série (por exemplo usando derivada da série de
como fizemos), obtemos exatamente essa sequência de coeficientes alternados. Assim a alternativa correta é a que corresponde a