Questão 8. Considere
f(x)=-\frac{2 x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}=\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{\prime}
Indique a alternativa CORRETA.
\begin{aligned} & f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} 2 n x^{2 n-1} \text { para }|x|<1 \\ & f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} 2 n x^{2 n-1} \text { para }|x|<1 \\ & f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n x^{2 n-1} \text { para }|x|<1 \\ & f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n-1} \text { para }|x|<1 \\ & f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n x^{2 n-1} \text { para }|x|<1 \\ & f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{2 n-1} \text { para }|x|<1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=-\frac{2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}
e informa que
f(x)=\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{\prime}.
Pede para indicar qual das alternativas com séries de potências é CORRETA, cada uma afirmando uma expressão do tipo
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\text{(alguma expressão em \(n\) e \(x\))}\quad\text{para}\quad|x|<1.ã
As informações relevantes que temos: a igualdade entre f e a derivada de \dfrac{1}{1+x^{2}} e que todas as séries são consideradas para |x|<1. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos recordar a série geométrica básica e como usá-la. A fórmula é:
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n}\qquad\text{para}\quad|u|<1.
Explicando devagar: essa identidade diz que, quando o número u tem valor absoluto menor que 1, a soma infinita dos potências u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots converge exatamente para \dfrac{1}{1-u}. Aqui u é uma variável qualquer (pode ser um número, pode ser uma expressão em x). Essa série é a base para gerar séries de potências por substituição.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da série geométrica com a substituição
u=-x^{2}.
Substituindo em \dfrac{1}{1-u} obtemos:
\frac{1}{1-(-x^{2})}=\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^{2})^{n}.
Desenvolvendo a potência, isso é
\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}\qquad\text{para}\quad|x|<1.
Aqui expliquei por que aparece o fator (-1)^{n}: porque (-x^{2})^{n}=(-1)^{n}x^{2n}. Note que o somatório começa em n=0.

Passo 4

Agora vamos derivar ambos os lados em relação a x. Justificação curta: uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo dentro do raio de convergência (aqui o raio é 1), então para |x|<1 podemos diferenciar a série obtida. A derivada do lado esquerdo é justamente a função f(x) dada:
f(x)=\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{\prime}.
Derivando o lado direito termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{d}{dx}\left(x^{2n}\right).
E a derivada de x^{2n} é 2n\,x^{2n-1}. Portanto
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}2n\,x^{2n-1}\qquad\text{para}\quad|x|<1.

Passo 5

Observe o termo n=0 na soma anterior: quando n=0 temos 2n\,x^{2n-1}=2\cdot 0\cdot x^{-1}=0. Logo esse primeiro termo é nulo e podemos começar a soma em n=1 sem alterar o valor:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}2n\,x^{2n-1}\qquad\text{para}\quad|x|<1.

Passo 6

Fazendo uma checagem rápida dos primeiros termos para ver se bate com a forma explícita de f(x): colocando n=1,2,3 na soma obtemos
-2x + 4x^{3} - 6x^{5} + \cdots.
Se expandirmos -\dfrac{2x}{(1+x^{2})^{2}} em série (por exemplo usando derivada da série de \dfrac{1}{1+x^{2}} como fizemos), obtemos exatamente essa sequência de coeficientes alternados. Assim a alternativa correta é a que corresponde a
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}2n\,x^{2n-1}\quad\text{para}\quad|x|<1.

Resposta

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} 2 n x^{2 n-1} \text { para }|x|<1

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