Verifique se os vetores são paralelos (produto vetorial = vetor nulo):
\vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(2,4,6)

Passo 1

Resumindo, temos os vetores \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(2,4,6). Em \mathbb{R}^3, dois vetores são paralelos se, e somente se, o seu produto vetorial for o vetor nulo.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial por meio do determinante
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & 6 \end{vmatrix}.
As componentes são
(\vec{u}\times\vec{v})_x = \begin{vmatrix}2 & 3 \\\\ 4 & 6\end{vmatrix} = 2\cdot6 - 3\cdot4 = 12 - 12 = 0,
(\vec{u}\times\vec{v})_y = -\begin{vmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & 6\end{vmatrix} = -(1\cdot6 - 3\cdot2) = -(6 - 6) = 0,
(\vec{u}\times\vec{v})_z = \begin{vmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 4\end{vmatrix} = 1\cdot4 - 2\cdot2 = 4 - 4 = 0.

Passo 3

Todas as componentes são zero, logo \vec{u}\times\vec{v} = (0,0,0). Como o produto vetorial é o vetor nulo, concluímos que \vec{u} e \vec{v} são paralelos.

Resposta

\vec{u} e \vec{v} são paralelos.

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