Verifique que os vetores u=(2,-1,3), v=(-1,0,-2) e w=(2,-3,1) são L.D.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
u=(2,-1,3),\quad v=(-1,0,-2),\quad w=(2,-3,1)
em \mathbb{R}^3 e pede para verificar que eles são linearmente dependentes. Para isso, vamos buscar escalares \alpha,\beta,\gamma, nem todos zero, tais que
\alpha\,u + \beta\,v + \gamma\,w = (0,0,0).

Passo 2

Escrevendo \alpha\,u + \beta\,v + \gamma\,w = (0,0,0) coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} 2\alpha \;-\;\beta \;+\;2\gamma = 0,\\\\ -\alpha \;-\;3\gamma = 0,\\\\ 3\alpha \;-\;2\beta \;+\;\gamma = 0. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação
-\alpha - 3\gamma = 0
segue que
\alpha = -3\gamma.

Passo 4

Substituindo \alpha = -3\gamma na primeira equação
2(-3\gamma) - \beta + 2\gamma = 0
vem
-6\gamma - \beta + 2\gamma = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -4\gamma.
Verificamos que a terceira equação fica satisfeita automaticamente, mostrando que há solução não trivial.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes, pois por exemplo, tomando \gamma = 1, \alpha = -3 e \beta = -4, temos
-3\,u \;-\;4\,v \;+\;1\,w = (0,0,0).

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