Determine os valores de m e n para que os vetores u=(m, 1,3) e v=(4,2,10 n-1) sejam linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
u = (m,1,3)
e
v = (4,2,10n-1)
e pede os valores de m e n para que u e v sejam linearmente dependentes. Para isso, usaremos o fato de que em \mathbb{R}^3 dois vetores são LD se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Supondo que exista escalar \lambda tal que
u = \lambda\,v,
temos então

Passo 3

Igualando coordenada a coordenada, vem
m = 4\lambda,\quad 1 = 2\lambda,\quad 3 = (10n - 1)\,\lambda.

Passo 4

Da segunda equação obtemos
\lambda = \frac{1}{2}.
Substituindo em m = 4\lambda
m = 4\cdot\frac12 = 2.
E em 3 = (10n-1)\lambda temos
3 = (10n - 1)\frac12 \;\Longrightarrow\; 6 = 10n - 1 \;\Longrightarrow\; n = \frac{7}{10}.

Resposta

m = 2 e n = \tfrac{7}{10}.

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