Verifique se os vetores vec{u}, \vec{v}, \vec{w} dados abaixo é L.I. ou é L.D.:
\vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(-2,0,-3) e \vec{w}=(4,-3,5).
Resp.: L.I.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(-2,0,-3) e \vec{w}=(4,-3,5) em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.). O conteúdo aqui é dependência linear, e vamos usar a definição que diz que eles são L.I. exatamente quando a única solução da combinação
\alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v} + \gamma\,\vec{w} = \vec{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação
\alpha\,(1,1,1) + \beta\,(-2,0,-3) + \gamma\,(4,-3,5) = (0,0,0)
obtemos um sistema de três equações para \alpha,\beta,\gamma.

Passo 3

O sistema fica
\begin{cases} \alpha \;-\;2\beta \;+\;4\gamma = 0,\\\ \alpha \;-\;3\gamma = 0,\\\ \alpha \;-\;3\beta \;+\;5\gamma = 0. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação temos \alpha = 3\gamma. Substituindo na primeira:
3\gamma - 2\beta + 4\gamma = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2\beta +7\gamma = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \tfrac{7}{2}\,\gamma.
Na terceira:
3\gamma -3\beta +5\gamma = 0 \quad\Longrightarrow\quad -3\beta +8\gamma = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \tfrac{8}{3}\,\gamma.
Para haver coincidência entre \tfrac{7}{2}\gamma e \tfrac{8}{3}\gamma precisamos de \gamma=0. Então \beta=0 e \alpha=3\cdot0=0.

Passo 5

Só existe a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0, logo os vetores são linearmente independentes.

Resposta

L.I.

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