Verifique se os vetores vec{u}, \vec{v}, \vec{w} dados abaixo é L.I. ou é L.D.: \vec{u}=(1,-1,1), \vec{v}=(-2,1,-3) e \vec{w}=(4,-3,5).
Resp.: L.D.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3: \vec{u}=(1,-1,1), \vec{v}=(-2,1,-3) e \vec{w}=(4,-3,5).
Queremos saber se eles são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.), usando a definição de combinação linear nula.
Passo 2
Montamos a combinação
a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=0
que leva ao sistema
\begin{cases} a - 2b + 4c = 0,\\\\ -\,a + b - 3c = 0,\\\ a - 3b + 5c = 0. \end{cases}
Passo 3
Da primeira equação vem
a = 2b - 4c.
Substituindo na segunda:
-(2b-4c) + b - 3c = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\,b + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad c = b.
Logo
a = 2b - 4b = -2b.
Passo 4
Agora checamos a terceira equação com a=-2b e c=b: