(a) Verifique que
é uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial
.
(b) Como
e
são contínuas em toda parte, a regiāo
no Teorema 1.1 pode ser tomada como sendo o plano
inteiro. Determine uma solução a partir da família do item (a) que satisfaça
1. Determine uma solução a partir da família do item (a) que satisfaça
. Determine o maior intervalo
de definição para a solução de cada problema de valor inicial.
(b) Como
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) mostrar que a família
satisfaz a equação diferencial
- (b) usar essa família para resolver os problemas de valor inicial
e , e determinar em cada caso o maior intervalo de definição da solução, aproveitando que e são contínuas em todo o plano .
Passo 2
Vamos verificar (a). Se
então usando derivação de
temos
Por outro lado,
Logo
e a família realmente satisfaz a equação.
Passo 3
Para
impomos
A solução é
Esse ramo tem singularidade em
, onde o denominador zera. Como o valor inicial está em
, o maior intervalo de definição que contém
é
Passo 4
Para
impomos
A solução fica
Agora há singularidade em
. O valor inicial
pertence ao intervalo
Resposta
Para
:
Para
: