(a) Verifique que y=-1 /(x+c) é uma família de soluções de um parâmetro da equação diferencial y^{\prime}=y^{2}.
(b) Como f(x, y)=y^{2} e \partial f / \partial y=2 y são contínuas em toda parte, a regiāo R no Teorema 1.1 pode ser tomada como sendo o plano x y inteiro. Determine uma solução a partir da família do item (a) que satisfaça y(0)- 1. Determine uma solução a partir da família do item (a) que satisfaça y(0)=-1. Determine o maior intervalo I de definição para a solução de cada problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) mostrar que a família
y = -\frac{1}{\,x + c\,}
satisfaz a equação diferencial
y' = y^2.
  • (b) usar essa família para resolver os problemas de valor inicial y(0)=1 e y(0)=-1, e determinar em cada caso o maior intervalo de definição da solução, aproveitando que f(x,y)=y^2 e \partial f/\partial y=2y são contínuas em todo o plano (x,y).

Passo 2

Vamos verificar (a). Se
y(x) = -\frac{1}{x + c},
então usando derivação de -1/(x+c) temos
y'(x) = -\bigl(-1\bigr)\frac{1}{(x+c)^2} = \frac{1}{(x+c)^2}.
Por outro lado,
y^2(x) = \Bigl(-\frac{1}{x+c}\Bigr)^{2} = \frac{1}{(x+c)^2}.
Logo
y'(x)=\frac{1}{(x+c)^2}=y^2(x),
e a família realmente satisfaz a equação.

Passo 3

Para y(0)=1 impomos
y(0)=-\frac{1}{0+c}=1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{c}=1 \quad\Longrightarrow\quad c=-1.
A solução é
y(x)=-\frac{1}{x-1}.
Esse ramo tem singularidade em x=1, onde o denominador zera. Como o valor inicial está em x=0, o maior intervalo de definição que contém 0 é
I_1 = (-\infty,\,1).

Passo 4

Para y(0)=-1 impomos
y(0)=-\frac{1}{0+c}=-1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{c}=-1 \quad\Longrightarrow\quad c=1.
A solução fica
y(x)=-\frac{1}{x+1}.
Agora há singularidade em x=-1. O valor inicial x=0 pertence ao intervalo
I_2 = (-1,\,\infty).

Resposta

Para y(0)=1:
y(x) = -\frac{1}{x-1}, \quad I = (-\infty,\,1).
Para y(0)=-1:
y(x) = -\frac{1}{x+1}, \quad I = (-1,\,\infty).

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